结论：非婚生子女成年后，直接抚养的一方通常不能直接起诉要求支付抚养费，但存在特殊情况。以下从不同角度进行分析：

一、一般情况：成年后不能追索抚养费

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费。”
   • 抚养费的支付义务通常限于子女未成年或不能独立生活期间。一旦子女成年且具备独立生活能力，父母原则上不再承担抚养费支付义务。

2. 法律逻辑：

   • 抚养费制度的核心目的是保障未成年子女或不能独立生活的成年子女的基本生活需求。子女成年后，法律默认其已具备独立生活能力，无需父母继续提供经济支持。
   • 直接抚养方在子女成年后主张抚养费，缺乏法律上的请求权基础。

二、特殊情况：成年后仍可追索抚养费

1. 子女不能独立生活：

   • 若成年子女因残疾、疾病等原因无法独立生活，且无经济来源，父母仍需承担抚养义务。此时，直接抚养方可代为起诉要求支付抚养费。
   • 法律依据：同上，《民法典》第一千零七十一条明确将“不能独立生活的成年子女”纳入抚养费支付范围。

2. 父母双方约定或法院判决：

   • 若父母在子女成年前通过协议或法院判决明确约定，抚养费支付期限延长至子女成年后（如至完成高等教育阶段），则直接抚养方可依据约定或判决要求支付。
   • 注意：此类约定或判决需符合法律规定，且不得损害子女合法权益。

3. 追索成年前未支付的抚养费：

   • 若子女成年前，父母未依法支付抚养费，直接抚养方可在子女成年后以子女名义起诉追索。但需注意诉讼时效问题，一般自子女成年之日起计算三年。
   • 法律依据：《民法典》第一百八十八条规定：“向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。”

三、实务建议

1. 收集证据：

   • 若主张特殊情况下的抚养费，需收集子女不能独立生活的证据（如医疗证明、残疾证等），或父母约定/判决延长抚养费支付期限的证据。

2. 明确诉讼主体：

   • 追索成年前未支付的抚养费时，诉讼主体应为子女本人，直接抚养方作为法定代理人参与诉讼。

3. 及时行使权利：

   • 注意诉讼时效限制，避免因超过时效而丧失胜诉权。

总结：非婚生子女成年后，直接抚养方一般不能直接起诉要求支付抚养费，但若子女不能独立生活、父母有约定或判决延长支付期限，或追索成年前未支付的抚养费，则可能例外。如有具体案件或疑问，可直接向我咨询。