结论：立遗嘱后，在一般情况下子女不能随意争夺遗产，但在存在特殊情况时，子女仍有可能对遗产的分配提出异议或进行争夺。以下是对此问题的详细分析：
一般情况下不能争产
- 遗嘱是遗嘱人依法处分其个人财产或其他事务，并于其死亡时生效的法律行为。根据《中华人民共和国民法典》继承编的规定，若遗嘱合法有效，则应当按照遗嘱的内容来分配遗产。因此，在遗嘱有效且明确指定了遗产分配方式的情况下，子女应当尊重遗嘱的安排，不能随意争夺遗产。
- 举例：若老人立下遗嘱将房产留给小儿子，则在老人去世后，该房产应归小儿子所有，其他子女无权强行争夺。
存在特殊情况时可能争产
- 遗嘱无效或部分无效：
- 遗嘱人不具备完全民事行为能力时所立的遗嘱无效。如老人患有严重的老年痴呆症，无法辨认自己的行为，则其所立遗嘱无效。
- 遗嘱内容非遗嘱人的真实意思表示，如被胁迫、欺骗或篡改，则该部分遗嘱内容无效。子女若能提供证据证明遗嘱存在这些情形，可通过法律途径主张遗嘱无效。
- 遗嘱形式不符合法律规定，如自书遗嘱未亲笔书写、签名或注明年月日，代书遗嘱缺乏见证人或未满足其他形式要求，则遗嘱可能被认定为无效。
- 未保留必要的遗产份额：
- 法律规定，遗嘱应为缺乏劳动能力且无生活来源的继承人保留必要的遗产份额。若遗嘱未为这类继承人保留份额，处理遗产时应先为其留下必要份额，剩余部分再按遗嘱分配。
- 举例：若老人有多个子女，其中一个因残疾无劳动能力且无生活来源，但遗嘱未为其保留份额，则该子女可要求为自己保留必要遗产份额。
- 有遗嘱未涉及的遗产：
- 遗嘱只能处分遗嘱人个人合法所有的财产。对于遗嘱未涉及的其他财产，这部分财产不能按照遗嘱分配，而是按照法定继承办理。子女作为第一顺序继承人有权参与分配这部分遗产。
- 遗产份额不足以维持基本生活需要：
- 若遗嘱中虽给子女保留了遗产份额，但该份额不足以维持其基本生活需要，子女有权请求法院适当增加遗产份额。
法律建议：
- 若您作为遗嘱的受益人，担心遗嘱的效力或遗产的分配问题，建议妥善保管遗嘱原件，并在遗嘱人去世后及时咨询律师，了解自己的权利和义务。
- 若您作为遗嘱的潜在争议方，认为遗嘱存在无效或部分无效的情形，或认为遗嘱未为您保留必要的遗产份额，也建议及时咨询律师，通过法律途径维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 若遗嘱被认定为有效，且明确指定了遗产分配方式，则子女应尊重遗嘱的安排，否则可能面临法律纠纷和不利后果。
- 若遗嘱被认定为无效或部分无效，或存在未保留必要遗产份额等情形，则遗产的分配可能按照法定继承或其他方式进行，子女有权根据法律规定参与分配。
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