关于推牌九赌博被公安抓是否会留案底的问题，结论前置如下：
- 若推牌九赌博行为仅受到治安管理处罚，如警告、罚款或行政拘留，则不会留下刑事犯罪案底，但会在公安机关内部系统留有违法记录。
- 若推牌九赌博行为构成刑事犯罪，如赌博罪或开设赌场罪，并经法院审判定罪量刑，则会留下刑事犯罪案底。
详细分析：
一、治安管理处罚情况
- 法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第七十条，以营利为目的，为赌博提供条件的，或者参与赌博赌资较大的，将受到行政处罚，包括五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节严重的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。
- 法律后果：在此种情况下，虽然不会留下刑事犯罪案底，但公安机关会记录为违法记录。这种记录对个人的日常生活影响相对较小，但在特定情况下，如特殊职业的政审环节，可能会产生一定影响。例如，偶尔参与小金额推牌九赌博并被处以行政拘留，这属于治安违法范畴，不会留下刑事案底。
二、刑事犯罪情况
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第三百零三条，以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、管制及罚金等。同时，该法条还对开设赌场以及组织中国公民参与境外赌博等情形进行了规定，明确了相应的刑事责任。
- 法律后果：一旦推牌九赌博行为被判定为犯罪，并经人民法院判决有罪，个人将在公安机关留下刑事犯罪记录，即通常所说的“案底”。这种记录将伴随个人终身，并对其社会信用、就业、出国等多个方面产生显著的负面影响。例如，以营利为目的组织多人推牌九赌博，且赌资数额较大，就可能构成赌博罪，一旦被认定有罪，就会留下刑事案底。
三、法律建议与警示
- 远离赌博：赌博是违反道德和法律规定的行为，不仅可能导致严重的财务损失，还可能引发法律后果，包括被捕和罚款等。因此，我强烈建议遵守中国的法律法规，远离任何形式的赌博行为。
- 及时寻求法律援助：对于已经涉及推牌九赌博问题的人员，应尽快寻求法律援助，以便及时纠正错误行为并减轻可能的法律后果。我可以根据你的具体情况，提供专业的法律建议和辩护服务。
总结：推牌九赌博被公安抓是否会留案底，主要取决于赌博行为的性质、情节以及是否构成犯罪。如果仅为行政违法，将不会留下犯罪案底，但会有违法记录；如果构成犯罪，则会留下伴随终身的犯罪案底。因此，我再次强调，请远离任何形式的赌博行为，以免给自己和家庭带来不必要的麻烦和损失。如果你有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。