结论：原签的劳动合同没盖章且现单位公司名称已变更的情况下，办理退休能否使用该合同，需分情况讨论。
情况一：劳动合同虽未盖章但已实际履行
法律解释：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同的生效并不完全依赖于盖章这一形式要件。如果劳动合同虽然未盖章，但双方已经实际履行了合同的主要义务，比如劳动者已经提供了劳动，用人单位也支付了劳动报酬，那么这份劳动合同在事实上是成立的，对双方都具有法律约束力。
对退休的影响：在这种情况下，即使公司名称发生了变更，只要能够证明原劳动合同的存在以及双方的实际履行情况，该合同仍然可以作为办理退休的依据之一。但需要注意的是，由于公司名称变更，可能需要提供一些额外的证明材料，如公司名称变更的工商登记资料等，以证明原合同与现公司之间的关联性。
情况二：劳动合同未盖章且未实际履行或履行情况不明确
法律解释：如果劳动合同既未盖章，双方也未实际履行合同的主要义务，或者履行情况不明确，那么这份劳动合同在法律上可能被视为未成立或无效。
对退休的影响：在这种情况下，由于劳动合同本身存在瑕疵或未成立，因此它不能作为办理退休的直接依据。此时，劳动者可能需要与用人单位协商重新签订劳动合同或提供其他证明劳动关系的材料，如工作证、工资单、社保缴纳记录等，以证明其与用人单位之间的劳动关系，从而顺利办理退休手续。
建议：
收集证据：无论哪种情况，劳动者都应尽可能收集与原劳动合同相关的证据材料，如合同文本、工作证、工资单、社保缴纳记录等，以证明其与用人单位之间的劳动关系。
咨询专业人士：由于劳动合同和退休手续涉及复杂的法律问题，建议劳动者在办理过程中咨询专业律师或劳动保障部门的工作人员，以确保自己的权益得到保障。
与用人单位协商：如果劳动合同存在瑕疵或公司名称变更导致办理退休手续遇到困难，劳动者可以与用人单位协商解决方案，如重新签订劳动合同、提供证明材料等。
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