结论：被抓起来一个星期是否会有案底，这主要取决于被抓后的处理结果以及是否构成犯罪。
分析角度一：行政拘留与案底的关系
如果被抓后仅被处以行政拘留，并且没有后续的刑事处罚，那么这种情况通常不会留下案底。行政拘留是对违反治安管理行为的一种处罚，它并不等同于刑事犯罪记录。但是，行政拘留的记录会在公安机关的内部系统中留存，这可能会对个人在某些特定场合（如出国签证、某些职业的入职审查等）产生一定影响，但这并不构成法律意义上的“案底”。
分析角度二：刑事拘留与案底的关系
若后续被判有罪：如果被抓后被刑事拘留，并且经过法院审理后被判有罪，那么就会留下案底。刑事拘留是刑事诉讼过程中的一种强制措施，它标志着个人已经涉嫌犯罪，并进入了刑事诉讼程序。一旦被判有罪，这个犯罪记录就会伴随个人一生，对个人的名誉、就业、出国等方面都可能产生严重影响。
若后续被判无罪或撤销案件：如果被抓后被刑事拘留，但经过调查后发现证据不足、情节轻微不构成犯罪，或者案件被撤销、不起诉等，那么在这种情况下，虽然个人曾经被刑事拘留过，但并不会留下案底。因为刑事拘留本身并不等同于犯罪记录，只有经过法院判决有罪后才会留下案底。
分析角度三：特殊情况下的考虑
在某些特殊情况下，即使个人没有被判有罪，也可能因为某些原因（如涉及国家秘密、个人隐私等）而留下一些特殊的记录。但这些记录并不等同于法律意义上的“案底”，它们通常受到严格的保密和管理，不会对个人产生广泛的影响。
建议与后续行动：
了解具体情况：如果你或者你认识的人被抓起来一个星期，首先需要了解的是被抓的原因以及后续的处理结果。这有助于判断是否会留下案底以及可能产生的影响。
咨询专业律师：如果你对被抓后的法律程序、可能产生的后果以及如何维护自己的权益等方面存在疑问，建议咨询专业律师。我可以为你提供专业的法律意见和帮助，确保你的权益得到妥善维护。
关注个人记录：无论是否会留下案底，都建议个人关注自己的记录情况。如果发现有不实记录或者错误记录，应及时向相关部门提出异议并申请更正。
希望以上分析能对你有所帮助。如果你有任何其他问题或者需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。