针对您提出的“商家打折后不给开发票是否合法”的问题，我可以明确地告诉您：商家打折后不给开发票是不合法的。
首先，我们来看看相关的法律依据。根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条的规定，所有销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务并收取款项时，收款方都有义务向付款方开具发票。这一规定是普遍适用的，并没有因为商品打折而有所例外。也就是说，无论商品是原价销售还是打折销售，只要交易达成且商家已经收取了款项，那么商家就必须依法为消费者开具发票。
接下来，我们谈谈消费者的权利。作为消费者，在购买商品或接受服务时，您有权要求商家开具发票。这是您依法享有的基本权利，也是您维护自身权益的重要依据。如果商家以打折为理由拒绝开具发票，那么您完全有权向税务机关或其他相关部门进行投诉举报。税务机关会按照相关规定对商家的违法行为进行调查处理，以保障您的合法权益。
那么，当您遇到商家拒开发票的情况时，应该如何维护自己的权益呢？这里给您提供几个建议：
协商：首先，您可以尝试与商家进行友好协商，明确表达您要求开具发票的意愿，并说明这是您的合法权益。有时候，商家可能只是因为疏忽或不了解相关规定而拒绝开具发票，通过协商往往可以解决问题。
投诉举报：如果协商无果，您可以向当地税务机关或消费者协会等机构进行投诉举报。在投诉举报时，请提供相关证据材料，如购物小票、交易记录等，以便相关部门能够更好地了解情况并进行处理。
法律追究：在必要时，您还可以选择通过法律途径追究商家的法律责任。虽然这可能需要一定的时间和精力，但如果您认为自己的权益受到了严重侵害，那么这也是一个值得考虑的选择。
综上所述，商家打折后不给开发票是违法的行为。作为消费者，您有权要求商家开具发票，并在遇到拒开发票的情况时积极维护自己的合法权益。同时，也希望商家能够遵守相关法律法规，诚信经营，为消费者提供优质的服务和保障。