若法院不支持诉讼费承担请求，当事人可通过以下途径处理：

1. 审查诉讼费承担的法律依据
   根据《诉讼费用交纳办法》第二十九条，诉讼费用原则上由败诉方承担，但部分胜诉、部分败诉的，法院可根据案件具体情况决定各自负担比例。若法院未支持当事人关于诉讼费承担的请求，通常有两种可能：

   • 当事人未明确提出诉讼费承担请求，或请求未被法院采纳；
     
   • 法院认为案件结果不符合“败诉方承担”或“按比例分担”的法定情形。
     建议：当事人可核对起诉状或答辩状中是否明确列明诉讼费承担请求，并审查法院判决中关于诉讼费分担的论述是否符合法律规定。

2. 通过上诉或申请再审主张权利

   • 上诉：若当事人认为一审法院对诉讼费分担的判决存在错误（如未依法认定败诉方、未按比例分担等），可在判决书送达之日起十五日内向上一级法院提起上诉，并在上诉状中明确提出诉讼费分担的异议。
     
   • 申请再审：若判决已生效，当事人发现法院在诉讼费分担上存在《民事诉讼法》第二百零七条规定的情形（如适用法律错误、程序违法等），可向法院申请再审，但需注意再审申请的期限和条件。
     注意：上诉或再审需提供充分证据证明法院判决存在错误，否则可能被驳回。

3. 与对方协商分担或申请司法救助

   • 协商分担：若诉讼费金额较小或双方关系尚可，当事人可主动与对方协商分担比例，并签订书面协议，避免进一步纠纷。
     
   • 申请司法救助：若当事人经济困难且符合《诉讼费用交纳办法》第四十四条规定的条件（如领取最低生活保障金、无固定生活来源等），可向法院申请缓交、减交或免交诉讼费用。
     提示：司法救助需提交相关证明材料，且仅适用于特定经济困难情形。

4. 执行阶段处理诉讼费
   若法院判决明确诉讼费由对方承担，但对方未主动履行，当事人可在执行阶段向法院申请强制执行，要求对方支付诉讼费及可能产生的迟延履行利息。
   操作步骤：

   • 持生效判决书向法院申请强制执行；
     
   • 提供对方财产线索（如银行账户、房产等）；
     
   • 配合法院执行程序，直至诉讼费全部执行到位。

总结：法院不支持诉讼费承担请求时，当事人应首先审查判决依据，再根据案件阶段选择上诉、再审、协商或申请司法救助等途径。若涉及执行问题，需及时申请强制执行以保障权益。如有具体案件细节需进一步分析，可直接向我咨询。