在刑事案件立案后，关于是否需要通知双方以及通知的具体方式和时机，这确实是一个涉及多个方面和因素的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、刑事立案后通知的必要性
刑事立案后通知相关当事人，是法律赋予其的基本权利，也是保障其知情权的重要体现。无论是控告人、被害人还是犯罪嫌疑人，他们都有权了解案件的进展和处理情况，以便及时采取必要的法律措施保护自身权益。同时，通知也有助于促进案件的公正、高效处理，增强司法透明度和公信力。
二、通知的对象和方式
报案人、控告人、举报人：
- 公安机关在接受案件后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任且属于自己管辖的，会予以立案，并将立案情况反馈给报案人、控告人、举报人。虽然法律未明确规定必须书面告知，但在司法实践中，公安机关通常会以书面形式或口头形式将立案情况告知他们，并做好相关记录。
- 若决定不予立案，公安机关会制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
犯罪嫌疑人：
- 在刑事立案后，并不会马上告知犯罪嫌疑人。立案阶段主要是开展侦查工作以收集证据、查明案件事实。
- 当需要对犯罪嫌疑人采取强制措施（如拘留、逮捕）或进行传唤讯问时，会以相应的法律文书形式（如拘留证）让犯罪嫌疑人知晓其被刑事追诉及涉嫌的罪名等情况。
- 在特殊情况下，如涉及国家秘密或侦查工作需要保密等，可能会暂时不告知犯罪嫌疑人，但随着侦查进展到合适阶段，还是会依法告知相关情况。
被害人及其法定代理人、近亲属：
- 公安机关在立案后会及时将立案情况告知被害人及其法定代理人、近亲属等，告知方式可以是书面通知或口头告知，并确保他们了解案件的进展和处理情况。
三、刑事自诉案件的特殊情况
在刑事自诉案件中，立案后通知对方的时间是一个关键节点。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定，人民法院对自诉案件进行审查后，认为符合立案条件的，应当在收到自诉状或口头告诉之日起十五日内立案，并书面通知自诉人（原告）。同时，法院也应在立案后的合理时间内向被告送达起诉状副本等材料，以确保被告知晓被诉事宜并有机会准备答辩。通常情况下，这个送达时间会在立案后的五日内，但也可能因实际情况而有所延长。
四、特殊情况的考虑与当事人的权利
涉及国家秘密等特殊案件：
- 在涉及国家安全、国家秘密等特殊案件时，基于案件侦查的需要，可能不会立即告知相关当事人。但随着侦查进展到适当阶段，且不影响侦查工作时，办案机关应依法告知相关情况。
当事人的权利与救济途径：
- 如果当事人发现自己涉及的案件已经立案却未被通知，可以向相关办案机关询问了解情况，要求得知案件的进展和处理结果。
- 当事人可以要求办案机关按照法定程序履行告知义务。如果办案机关拒绝履行告知义务或告知存在违法违规情形，当事人可以通过合法途径反映情况，如向其上级机关反映或通过检察院的法律监督程序进行维权。必要时，还可以寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。
综上所述，刑事案件立案后的通知问题是一个复杂而重要的问题。办案机关应依法履行告知义务，确保当事人的知情权和参与权得到充分保障；同时，也应根据案件性质和侦查需要灵活处理告知方式和时机问题，以确保案件的顺利侦破和公正处理。