政府工程损坏老百姓农田的行为是否违法需分情况讨论，但未经合法程序造成农田损坏的，通常构成违法，具体处理方式需结合实际情况采取行政救济或司法救济途径。以下从违法性认定及处理方式两个角度展开分析：

一、违法性认定

1. 未履行法定审批程序
   根据《土地管理法》第四十四条、第四十五条规定，政府工程若涉及占用永久基本农田或耕地，需依法办理农用地转用审批手续。若未取得省级以上人民政府批准，擅自占用农田施工并造成损坏的，属于违法用地行为，违反《土地管理法》第七十七条，可能面临责令退还土地、恢复原状、罚款等行政处罚。

2. 未履行补偿安置义务
   根据《土地管理法》第四十八条规定，政府因公共利益需要征收土地的，应依法足额支付土地补偿费、安置补助费及地上附着物补偿费。若工程实施过程中未与农户签订补偿协议、未足额支付补偿款即强行施工导致农田损坏的，构成违法征收，侵犯农户财产权。

3. 未采取必要保护措施
   若工程虽经合法审批，但施工过程中未采取防尘、防渗、防塌方等保护措施，导致农田污染或毁损的，可能违反《环境保护法》《民法典》中关于环境污染侵权的规定，需承担民事赔偿责任。

二、处理方式

1. 行政救济途径

   • 投诉举报：向当地自然资源部门（原国土局）或农业农村部门提交书面投诉材料，要求对违法用地行为立案查处，并出具书面处理结果。
     
   • 申请行政复议：若对政府部门的补偿决定或行政处罚不服，可在知道该行为之日起60日内向上一级行政机关申请复议，要求撤销或变更原决定。
     
   • 要求信息公开：通过申请政府信息公开，获取工程审批文件、补偿方案等证据，确认政府是否履行法定程序。

2. 司法救济途径

   • 行政诉讼：以政府为被告，向法院提起行政诉讼，主张确认工程违法、撤销补偿决定或要求履行补偿义务。需注意诉讼时效为知道行政行为之日起6个月内。
     
   • 民事赔偿诉讼：若农田损坏系施工方过错导致（如污染、塌方），可单独或并行提起民事诉讼，要求施工方赔偿损失（包括土地修复费用、农作物减产损失等）。
     
   • 刑事报案：若政府或施工方存在故意毁坏财物、滥用职权等犯罪行为，可向公安机关报案，追究刑事责任。

三、关键证据收集

1. 农田权属证明（土地承包经营权证、集体土地使用证等）；
   
2. 工程实施前后的农田照片、视频；
   
3. 政府发布的工程公告、补偿方案等文件；
   
4. 与政府或施工方的沟通记录（录音、书面材料）；
   
5. 第三方机构出具的土壤检测报告（如涉及污染）。

建议：农户应优先通过行政投诉推动问题解决，若行政程序无果，及时委托律师介入调查取证并启动诉讼程序。需注意，农田损坏的赔偿标准可能因地区政策差异较大，需结合当地具体规定主张权利。