当老百姓的农田遭到破坏时，可以根据破坏的具体情况，向以下部门寻求帮助和处理：
自然资源部门与农业农村部门
- 职责：这两个部门共同负责土地资源的保护和合理利用监管。对于非法占用农田进行非农业建设活动（如建房、挖砂、采矿等）或擅自改变农田用途的行为，以及因开发土地造成农田荒漠化、盐渍化的行为，它们有权进行查处和纠正。
- 法律依据：根据《中华人民共和国土地管理法》第七十五条，违反本法规定，占用耕地建窑、建坟或者擅自在耕地上建房、挖砂、采石、采矿、取土等，破坏种植条件的，或者因开发土地造成土地荒漠化、盐渍化的，由县级以上人民政府自然资源主管部门、农业农村主管部门等按照职责责令限期改正或者治理，并可处以罚款；构成犯罪的，依法追究刑事责任。
- 应用实例：若农田被未经批准擅自建造的房屋或其他建筑破坏，或因开发导致农田质量下降，可向这两个部门举报，它们将依法调查处理。
生态环境部门
- 职责：负责监管和查处由环境污染导致的农田破坏行为，如工业废水、废气、废渣等污染物排放到农田造成的土壤污染。
- 法律依据：虽然直接涉及生态环境部门在农田保护方面的具体职责未在《中华人民共和国土地管理法》中明确列出，但《中华人民共和国土壤污染防治法》强调了各级人民政府在土壤污染防治中的责任，包括组织实施土壤污染状况普查、监测、调查和土壤污染责任人认定等活动。这表明生态环境部门在土壤（包括农田）污染防治中扮演着重要角色。
- 应用实例：若农田因附近工厂违规排放含有重金属的废水而严重污染，生态环境部门应参与调查并采取措施防止污染进一步扩散，同时要求责任方进行修复。
公安机关
- 职责：在破坏农田行为涉嫌犯罪时，公安机关负责依法侦查立案，并展开调查工作。
- 法律依据：根据相关法律法规，公安机关有权对涉嫌犯罪的行为进行侦查，并在证据确凿时立案调查。虽然《中华人民共和国土地管理法》中未直接提及公安机关在农田保护方面的职责，但其作为执法机构，在涉及犯罪行为的查处中发挥着关键作用。
- 应用建议：若发现破坏农田行为可能构成犯罪（如非法占用农用地罪），应及时向当地公安机关报案，并提供相关证据以协助侦查。
上级政府或相关部门
- 途径：若认为相关部门的处理不够及时或公正，可向上级政府或相关部门进行举报或投诉。
- 处理方式：上级政府或相关部门将对举报或投诉进行调查，并根据调查结果给出相应的处理意见。
在处理农田被破坏的问题时，还可以采取以下措施：
- 保护现场：在发现农田被破坏后，应立即保护现场，防止破坏行为进一步扩大，并保留关键证据。
- 收集证据：详细记录农田破坏的情况，包括时间、地点、破坏方式等，并拍摄照片或视频作为证据。
- 咨询法律：在处理过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见。
最后，需要强调的是，根据《基本农田保护条例》第五条，任何单位和个人都有保护基本农田的义务，并有权检举、控告侵占、破坏基本农田的行为。因此，在发现农田被破坏时，应积极行使自己的权利，向相关部门报告或举报，共同维护农田的安全和合理利用。