结论：由于行政拘留被公司解除劳动合同，是否可以向公司索取赔偿，这主要取决于公司解除劳动合同的合法性以及劳动合同或公司规章制度中的相关约定。以下从不同角度进行分析：
一、公司解除劳动合同的合法性
若公司解除劳动合同合法：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果员工因行政拘留导致无法履行工作职责，且该行政拘留与工作职责有直接关联，或者员工因行政拘留违反了公司的规章制度，公司有权依法解除劳动合同。
- 在这种情况下，由于公司解除劳动合同是合法的，员工通常无法向公司索取赔偿。
若公司解除劳动合同违法：
- 如果公司解除劳动合同的理由不充分，或者未按照法定程序进行，那么公司的解除行为可能构成违法解除。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍，经济补偿金则根据员工在公司的工作年限和月工资水平来确定。
二、劳动合同或公司规章制度中的相关约定
劳动合同中有明确约定：
- 如果劳动合同中明确规定了员工因行政拘留被解除劳动合同的相关条款，包括是否支付赔偿金以及赔偿金的计算方式等，那么双方应按照劳动合同的约定执行。
公司规章制度中有明确规定：
- 如果公司规章制度中明确规定了员工因行政拘留被解除劳动合同的相关处理办法，且该规章制度已经经过民主程序制定并公示，那么公司可以依据规章制度进行解除，并按照规章制度中的规定处理赔偿问题。
三、实际操作建议
审查劳动合同和公司规章制度：
- 员工应首先审查自己的劳动合同和公司规章制度，了解其中关于因行政拘留被解除劳动合同的相关规定。
与公司协商：
- 如果员工认为公司解除劳动合同的行为违法或不合理，可以尝试与公司进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
举例说明：假设员工小张因行政拘留被公司解除劳动合同，小张认为公司解除行为违法。小张首先审查了自己的劳动合同和公司规章制度，发现其中并未明确规定因行政拘留被解除劳动合同的相关处理办法。于是，小张与公司进行了协商，但未能达成一致。最终，小张向当地劳动仲裁机构申请了劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。经过仲裁机构的审理，认定公司解除劳动合同的行为违法，并裁决公司向小张支付赔偿金。
进一步思考：在处理此类问题时，员工应充分了解自己的权益和公司的义务，以及相关的法律法规和规章制度。同时，员工也应保留好相关证据，如行政拘留决定书、劳动合同、公司规章制度等，以便在需要时进行维权。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。