结论：小事故私了赔钱后，一般不建议再打电话给保险公司备案，但在特定情况下仍可考虑备案。

1. 不建议备案的情况：

   • 已达成私了协议并履行：如果双方已经就赔偿金额和方式达成一致，并且赔偿已经实际支付，那么从法律和实务角度来看，再向保险公司备案的意义不大。因为保险公司通常是根据事故责任和损失情况来赔付的，既然双方已经私了，就意味着已经自行解决了赔偿问题，保险公司一般不会再介入。
   • 避免保费上涨：向保险公司备案后，即使不申请理赔，该事故记录也可能被计入您的保险记录中，进而可能影响您未来的保费。保险公司可能会根据您的出险记录来调整保费，因此，如果事故较小且已经私了，为了避免不必要的保费上涨，不建议再备案。

2. 可考虑备案的情况：

   • 担心后续纠纷：如果您虽然已经私了，但担心对方后续可能会反悔或提出额外的赔偿要求，那么您可以考虑向保险公司备案。这样，在后续出现纠纷时，您可以有保险公司作为第三方来协助处理，增加一定的保障。但需要注意的是，备案并不意味着保险公司一定会承担赔偿责任，具体还需根据保险合同和事故情况来判断。
   • 保险合同有特别约定：如果您的保险合同中有特别约定，比如要求所有事故都必须向保险公司备案，那么您就需要按照合同约定来执行。否则，可能会违反保险合同的规定，影响您未来的理赔权益。

建议：

• 在决定是否向保险公司备案前，建议您先仔细阅读保险合同中的相关条款，了解备案的具体要求和后果。
• 如果事故较小且已经私了，且您不担心后续纠纷，那么可以选择不备案，以避免不必要的麻烦和保费上涨。
• 如果您对备案有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况给出更详细的解答。