核心结论：劳务派遣工未签合同，可通过主张未签书面劳动合同的双倍工资差额、确认劳动关系后要求派遣单位或用工单位承担相应责任等方式要求赔偿，具体如下：
主张未签书面劳动合同的双倍工资差额
- 法律依据：根据《劳动合同法》第五十八条规定，劳务派遣单位是本法所称用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。劳务派遣单位应当与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同，按月支付劳动报酬。同时，《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 操作方式：劳务派遣工可以收集能证明与劳务派遣单位存在事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求劳务派遣单位支付未签书面劳动合同期间的双倍工资差额。例如，小李在某劳务派遣公司工作，但未签订书面劳动合同，工作了8个月，那么小李可以要求劳务派遣公司支付除第一个月外，后面7个月的双倍工资差额。
- 注意事项：双倍工资差额的仲裁时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。所以劳务派遣工要及时主张权利，避免超过仲裁时效。
确认劳动关系后要求派遣单位或用工单位承担相应责任
- 确认劳动关系：如果劳务派遣单位不承认与劳务派遣工存在劳动关系，劳务派遣工可以通过劳动仲裁确认与劳务派遣单位的劳动关系。在确认劳动关系后，若因未签合同导致自身权益受损，如未缴纳社会保险等，可要求劳务派遣单位承担相应责任。
- 用工单位连带责任：根据《劳动合同法》第九十二条规定，劳务派遣单位违反本法规定的，由劳动行政部门和其他有关主管部门责令改正；情节严重的，以每人一千元以上五千元以下的标准处以罚款，并由工商行政管理部门吊销营业执照；给被派遣劳动者造成损害的，劳务派遣单位与用工单位承担连带赔偿责任。例如，劳务派遣工在用工单位工作期间发生工伤，但劳务派遣单位未为其缴纳工伤保险，此时劳务派遣工不仅可以要求劳务派遣单位承担工伤保险待遇赔偿责任，还可以要求用工单位承担连带赔偿责任。
其他可能的主张
- 经济补偿：如果因为劳务派遣单位未签合同等违法行为，导致劳务派遣工解除劳动合同的，劳务派遣工还可以依据《劳动合同法》的相关规定，要求劳务派遣单位支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 补缴社会保险：劳务派遣单位有义务为劳务派遣工缴纳社会保险。如果未缴纳，劳务派遣工可以要求劳务派遣单位补缴社会保险。不过，补缴社会保险一般需要向社会保险行政部门投诉，由社会保险行政部门责令劳务派遣单位补缴。
建议：劳务派遣工在遇到未签合同的情况时，要及时收集相关证据，通过合法途径维护自己的权益。如果对具体的操作流程和法律规定不清楚，可以直接向我咨询，我会为你提供详细的解答和指导。