自首后当天能否办理取保候审，需结合具体案情判断，无法一概而论，但存在当天办理成功的可能性。以下从法律程序、实务操作两个维度展开分析：

一、法律程序层面：取保候审的法定条件是核心依据

根据《刑事诉讼法》第六十七条，取保候审需满足以下条件之一：

1. 可能判处管制、拘役或独立适用附加刑；
   
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保不致发生社会危险性；
   
3. 患有严重疾病、生活不能自理，或系生活不能自理的人的唯一扶养人；
   
4. 羁押期限届满，案件尚未办结。
   

虚开普通发票1000多万，若查实属于“情节特别严重”（如虚开税款数额巨大或造成国家税款重大损失），可能面临2年以上7年以下有期徒刑（《刑法》第二百零五条之一）。此时需重点评估“社会危险性”，包括：

• 犯罪嫌疑人是否可能毁灭证据、串供；
  
• 是否可能实施新的犯罪；
  
• 是否可能对被害人、举报人、控告人实施打击报复；
  
• 是否有自杀、逃跑倾向等。
  

自首是重要减责情节（《刑法》第六十七条），可证明犯罪嫌疑人悔罪态度，降低“社会危险性”的认定风险，但不直接等同于符合取保条件，需结合其他因素综合判断。

二、实务操作层面：当天办理取保需满足“程序+实体”双重条件

1. 程序条件：

   • 公安机关需在拘留后3日内提请批捕（特殊情况可延长1-4日），若未提请批捕，可直接申请取保；
     
   • 若已提请批捕，需等待检察院7日内作出是否批捕的决定，此期间一般无法办理取保（除非检察院不批捕）。
     
   • 自首当天若未被刑事拘留（如仅传唤、询问），可直接申请取保；若已被拘留，需看是否在3日提请批捕期限内。
     

2. 实体条件：

   • 需提交取保候审申请书，明确符合法定条件（如社会危险性低、有固定居所等）；
     
   • 需提供保证人或缴纳保证金（保证金数额根据犯罪情节、社会危险性等确定，一般不低于1000元）；
     
   • 公安机关需在3日内作出决定，若同意取保，当天可办理释放手续。
     

实务中，若自首后未被拘留，或拘留后未提请批捕，且犯罪嫌疑人符合取保条件（如社会危险性低、有固定居所等），当天办理成功的概率较高；但若案件复杂（如涉及多人作案、税款损失巨大等），公安机关可能需进一步调查，当天办理的难度较大。

三、建议：积极配合调查，及时委托律师介入

1. 自首后如实供述，争取从宽处理；
   
2. 尽快委托律师，律师可会见犯罪嫌疑人、查阅案卷，评估取保可行性，并代为申请取保候审；
   
3. 准备取保材料，如固定居所证明、工作证明、保证人身份材料等，提高取保成功率。
   

若您或家人涉及此类案件，可直接向我咨询，我会结合具体案情（如虚开金额、税款损失、自首情节等）提供更精准的法律建议。