可以同时向交通事故当事人和保险公司索要赔偿，但需根据具体损失类型和责任划分确定赔偿主体及范围。以下是具体分析：

1. 对保险公司的索赔
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》及《民法典》第1213条，保险公司需在交强险责任限额内（医疗费1.8万元、死亡伤残18万元、财产损失0.2万元）优先赔偿。若购买了商业三者险，超出交强险部分由商业险按责任比例赔付。
   关键点：保险公司赔偿范围通常限于直接损失（如医疗费、误工费、车辆维修费），需提供收入证明、银行流水等证据证明误工损失。

2. 对交通事故当事人的索赔
   若保险公司赔付后仍有不足（如超出保险限额、未投保商业险或存在免赔情形），可向直接侵权人（如肇事司机）主张剩余赔偿。若对方存在故意或重大过失（如酒驾、逃逸），还可能涉及惩罚性赔偿。
   关键点：需通过交警《事故责任认定书》确定对方责任比例，若对方全责则可主张全部损失；若部分责任，则按比例分担。

3. 误工费赔偿的特殊规则
   因事故导致失业的，可主张实际误工损失（即失业前平均收入×误工时间），但需满足：

   • 失业与事故存在直接因果关系（如因伤无法继续原工作）；
     
   • 提供劳动合同、工资条、纳税证明等证据；
     
   • 若失业后重新就业，需扣除新工作收入。
     例外情形：若失业系因单位裁员等非事故因素，则无法主张。

4. 操作建议

   • 立即报警并保留《事故责任认定书》；
     
   • 收集收入证明、医疗记录等证据；
     
   • 优先与保险公司协商，协商不成可起诉侵权人及保险公司；
     
   • 注意诉讼时效（人身损害赔偿为3年，自知道权利受损之日起算）。

提示：若对方拒赔或保险公司扯皮，可委托律师申请财产保全或先予执行，确保赔偿到位。如有具体证据或细节需要分析，可直接向我提供材料进一步咨询。