结论：喝醉酒后多次到当事人家打架并实施侮辱行为，有可能构成侮辱罪，且侮辱罪一般属于自诉案件，但具体是否构成犯罪以及能否成功自诉，需结合行为的具体情节、造成的后果等多方面因素综合判断。

一、关于侮辱罪的构成

根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条的规定，以暴力或者其他方法公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，构成侮辱罪。这里的“公然”指的是当众或者利用能够使多人听到或看到的方式，对他人进行侮辱；“情节严重”则通常指的是侮辱行为造成了较为严重的后果，如导致被害人精神失常、自杀等严重后果，或者多次实施侮辱行为等。

在您描述的情况中：

1. 行为方式：喝醉酒后多次到当事人家打架并实施侮辱行为，如果这种侮辱行为是当着其他人的面进行的，或者通过其他方式使得多人能够听到或看到，那么就符合“公然”侮辱的要件。
2. 情节严重：多次实施侮辱行为，本身就表明了行为人的主观恶性较大，且对被害人造成了持续的精神伤害，有可能被认定为“情节严重”。

二、关于自诉案件

侮辱罪在大多数情况下属于自诉案件，即由被害人或者其法定代理人直接向人民法院提起诉讼，而不是由公安机关立案侦查后由检察机关提起公诉。这意味着：

1. 被害人有权选择：被害人可以选择是否向法院提起自诉，如果选择提起，则需要准备充分的证据来证明行为人的侮辱行为以及该行为造成的严重后果。
2. 证据收集：由于自诉案件需要被害人自行收集证据，因此被害人需要尽可能收集能够证明行为人侮辱行为的证据，如证人证言、录音录像、聊天记录等。

三、关于实际处理中的建议

1. 及时报警：虽然侮辱罪一般属于自诉案件，但在行为人多次到当事人家打架并实施侮辱行为的情况下，其行为可能已经超出了单纯的侮辱范畴，涉及到了寻衅滋事、故意伤害等其他犯罪行为。因此，建议被害人及时报警，由公安机关进行调查处理。
2. 收集证据：无论选择自诉还是报警处理，被害人都需要尽可能收集能够证明行为人侮辱行为的证据。这些证据将对于后续的诉讼或处理至关重要。
3. 咨询专业律师：在处理此类案件时，建议被害人咨询专业律师的意见。律师可以根据案件的具体情况，为被害人提供专业的法律建议和帮助，确保被害人的合法权益得到充分保障。

最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都是不同的，因此是否构成侮辱罪以及能否成功自诉，需要结合案件的具体情节、造成的后果等多方面因素综合判断。如果您或您身边的人遇到了类似的情况，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更专业的法律建议。