当您遇到工厂没有签订劳动合同且拖欠工资的情况时，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：

一、收集关键证据

首先，您需要收集能够证明您与工厂之间存在劳动关系的证据，这包括但不限于：

• 工作证（最好带有工厂公章）
• 考勤记录（如打卡记录、签到表等）
• 工资支付记录（银行转账流水，特别是显示工厂名称的转账记录）
• 工作群聊天记录或工作邮件（能体现您在工厂工作的情况）
• 同事的证言（如果有同事愿意为您作证）

同时，您还需要收集能够证明工厂拖欠您具体工资数额的证据，如：

• 工资条（如果有的话）
• 与老板或人事部门关于工资的聊天记录或通话录音

二、尝试与工厂协商

在收集好证据后，您可以先尝试与工厂负责人进行面对面沟通，明确表达您的诉求，即要求工厂签订劳动合同并支付拖欠的工资。如果直接沟通无果，您可以考虑发送书面催款函，正式提出您的诉求，并保留好相关记录作为后续证据。

三、向劳动监察部门投诉

如果协商未能解决问题，您可以向当地的劳动监察部门投诉。投诉时，请携带好您的身份证以及之前收集的所有证据材料。劳动监察部门将会对您的投诉进行调查核实，如果查实工厂确实存在违法行为，将会责令工厂限期支付工资，并可能给予行政处罚。

四、申请劳动仲裁

如果您对劳动监察部门的处理结果不满意，或者工厂仍然拒绝支付工资，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在申请仲裁时，您需要提交书面的仲裁申请书及副本，详细载明双方的基本信息、您的仲裁请求、事实和理由，并附上所有相关证据材料。仲裁庭将会开庭审理您的案件，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。如果裁决工厂支付工资，工厂需要履行裁决；如果工厂不履行，您可以申请强制执行。

五、向法院起诉

如果您对仲裁裁决不服（除终局裁决外），您可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在起诉时，您需要提交起诉状和相关证据材料。法院将会安排开庭审理您的案件，并根据事实和法律作出判决。如果法院判决工厂支付工资，工厂仍然不履行，您可以再次申请强制执行。

六、额外权益主张

根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在维权过程中，您还可以一并主张这一额外权益。

总结与建议：

在面对工厂未签合同且拖欠工资的情况时，请保持冷静和理性，依法行事。首先收集好所有相关证据，然后尝试与工厂协商解决；如果协商无果，则依次通过劳动监察部门投诉、劳动仲裁、法院起诉等途径来维护自己的合法权益。在整个过程中，保留好所有相关证据是至关重要的，它将为您的维权之路提供有力支持。同时，建议您在维权前咨询专业律师或法律机构，以确保自己的合法权益得到有效维护。