核心结论：公司付款后供应商不发货，可通过协商、发函催告、解除合同并索赔、诉讼或仲裁等途径解决，具体如下：

1. 协商解决
   首先建议与供应商直接沟通，明确发货延迟的原因（如生产问题、物流延误等），并要求其提供书面说明及预计发货时间。若供应商存在合理理由且承诺履行，可要求其签订补充协议，明确违约责任（如逾期罚款、赔偿损失等），以约束对方行为。

2. 发函催告
   若协商无果，可委托律师向供应商发送《律师函》，正式要求其限期发货或退款，并明确若未履行将采取法律措施。律师函具有法律威慑力，可能促使供应商主动履行义务，同时为后续诉讼保留证据。

3. 解除合同并索赔
   根据《民法典》第563条，若供应商明确表示不发货或经催告后仍不履行，公司有权解除合同，并要求其返还已付款项、赔偿损失（如差价损失、预期利益损失等）。需注意：

   • 合同中若约定了解除权行使条件（如逾期超过X日），可直接依据条款解除；
     
   • 若无约定，需先催告供应商在合理期限内履行，逾期未履行方可解除。

4. 诉讼或仲裁
   若供应商拒绝退款或赔偿，可向法院起诉或依据合同约定申请仲裁，主张：

   • 返还已付款项；
     
   • 赔偿直接损失（如另行采购的差价）和间接损失（如因缺货导致的客户索赔）；
     
   • 支付违约金（若合同有约定）。
     证据准备：需提供合同、付款凭证、沟通记录（邮件、微信等）、催告函等材料，以证明供应商违约及己方损失。

5. 其他注意事项

   • 合同审查：若合同未约定交货时间、违约责任等条款，可能增加维权难度，未来签约时需完善条款；
     
   • 供应商资信调查：若供应商存在经营异常（如失信、涉诉），可申请财产保全，防止其转移资产；
     
   • 替代方案：若急需货物，可同步联系其他供应商，但需注意避免因“一货二卖”被供应商反诉。

行动建议：优先通过协商或律师函解决，若无效则果断启动法律程序。具体操作中，建议委托律师介入，以确保程序合法、证据充分，最大限度维护公司权益。如有进一步问题，可直接向我咨询。