私下写的责任担保书，在符合法定条件的情况下，是具有法律效力的。以下是对这一问题的详细分析：

法律效力基础

1. 合同自由原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体有权根据自己的意愿设立、变更、终止民事权利义务关系。因此，双方私下签订的责任担保书，只要内容合法、意思表示真实，且不违反法律、行政法规的强制性规定，就应当受到法律保护。

2. 担保合同的有效性：责任担保书本质上是一种担保合同，它明确了担保人和被担保人之间的权利义务关系。只要担保合同具备法律规定的有效要件，如双方具有相应的民事行为能力、意思表示真实、内容合法等，就具有法律效力。

责任担保书的具体要求

1. 内容明确：责任担保书应当明确担保的范围、期限、方式等关键条款。例如，担保人是否对车辆的所有债务承担担保责任，还是仅对特定债务承担担保责任；担保期限是多长；担保方式是连带责任保证还是一般责任保证等。

2. 签字盖章：责任担保书应当由担保人和被担保人签字或盖章，以确认双方的意思表示。签字或盖章是合同成立的重要要件，也是证明合同真实性的重要依据。

3. 不违反法律法规：责任担保书的内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。例如，担保合同不得约定非法债务或高利贷等违法内容。

法律效力可能受限的情况

1. 担保人资格问题：如果担保人不具备相应的民事行为能力，如未成年人或精神病人等，那么其签订的责任担保书可能无效。

2. 意思表示不真实：如果担保人在签订责任担保书时受到欺诈、胁迫或乘人之危等情形的影响，导致其意思表示不真实，那么该担保书也可能无效。

3. 担保物权未设立：如果责任担保书中约定了担保物权（如抵押权、质权等），但未按照法律规定办理相应的登记或交付手续，那么该担保物权可能未设立，从而影响担保书的法律效力。不过，在您所描述的情况下，主要是责任担保，不涉及担保物权的设立问题，但这一点在涉及其他类型担保时需要注意。

法律建议

1. 明确条款：在签订责任担保书时，务必明确各项条款，包括担保范围、期限、方式等，以避免未来可能出现的纠纷。

2. 咨询专业人士：由于法律问题具有复杂性，建议在签订责任担保书前咨询专业律师，以确保合同的合法性和有效性。

3. 保留证据：签订责任担保书后，务必妥善保管相关证据，如合同原件、签字盖章的复印件等，以备未来可能出现的法律纠纷之需。

总结来说，私下写的责任担保书在符合法定条件的情况下是具有法律效力的。但为了确保合同的合法性和有效性，建议在签订前咨询专业律师，并明确各项条款。如果您在签订或执行责任担保书过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。