结论前置：在票据追偿权纠纷中，连带责任人承担责任后，其追偿权的行使主要依据《中华人民共和国民法典》的相关规定。具体来说，当连带责任人实际承担的责任超过其应承担的份额时，有权向其他连带责任人进行追偿。
详细分析：
一、法律依据
《中华人民共和国民法典》第178条：
- 二人以上依法承担连带责任的，权利人有权请求部分或者全部连带责任人承担责任。
- 连带责任人的责任份额根据各自责任大小确定；难以确定责任大小的，平均承担责任。
- 实际承担责任超过自己责任份额的连带责任人，有权向其他连带责任人追偿。
《中华人民共和国民法典》第519条：
- 连带债务人之间的份额难以确定的，视为份额相同。
- 实际承担债务超过自己份额的连带债务人，有权就超出部分在其他连带债务人未履行的份额范围内向其追偿，并相应地享有债权人的权利，但是不得损害债权人的利益。
- 其他连带债务人对债权人的抗辩，可以向该债务人主张。
- 被追偿的连带债务人不能履行其应分担份额的，其他连带债务人应当在相应范围内按比例分担。
二、构成要件
- 连带责任人已实际承担责任：这是行使追偿权的前提条件，即连带责任人必须已经实际履行了超过自己责任份额的义务。
- 承担责任超过自己应承担的份额：连带责任人需明确各自的责任份额，若难以确定，则平均承担责任。只有当实际承担的责任超过了自身应承担的份额时，才能行使追偿权。
三、行使范围和方式
- 行使范围：追偿权的行使范围限于实际承担责任超过自己责任份额的部分，且在其他连带责任人未履行的份额范围内进行追偿。
- 行使方式：
- 协商：连带责任人之间可以就追偿事宜进行沟通和协商，达成一致意见。
- 诉讼：若协商不成，可以通过向人民法院提起诉讼的方式来维护自己的追偿权。
四、特殊情况处理
- 债务转移与消灭：部分连带债务人履行债务或债务被债权人免除的，其他债务人对债权人的债务在相应范围内消灭。同时，该债务人可以向其他连带债务人追偿。
- 按比例分担：被追偿的连带债务人不能履行其应分担份额的，其他连带债务人应当在相应范围内按比例分担。
- 内部约定不影响外部责任：连带责任人有约定相互之间的债务承担份额，但不为债权人知晓的，各连带债务人仍应按照比例分担向债权人不能清偿的部分。偿还债务超过自己应当承担数额的债务人，有权向其他债务人追偿。
五、实际应用中的注意事项
- 在行使追偿权时，应仔细研究相关法律法规，确保权利的合法性和有效性。
- 需明确内部责任划分，以便准确计算各连带责任人应承担的份额。
- 在追偿过程中，应尊重债权人的利益，不得损害其合法权益。
总结：票据追偿权纠纷中连带责任人承担责任后的追偿权行使，是一个涉及法律条款较多、程序相对复杂的过程。在实际操作中，建议根据具体情况，结合相关法律法规和司法解释，准确理解法律规定，明确各自的责任份额，并在必要时通过协商或诉讼等方式来行使追偿权。如果你在此过程中遇到任何问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议。