申请签订购买服务合同补充协议这一表述本身不需要加引号或书名号。以下是详细解释：
引号的使用场景：引号通常用于标示直接引用的话、特定称谓、具有特殊含义的词语等。在“申请签订购买服务合同补充协议”这个表述中，并没有直接引用他人的话语，也不是在强调某个具有特殊含义或特定称谓的词语，所以不需要使用引号。
书名号的使用场景：书名号主要用于标示书名、篇名、报刊名、文件名、戏曲名、歌曲名、图画名等。而“申请签订购买服务合同补充协议”并不是上述任何一种需要书名号来标示的名称或标题，它只是一个描述性的短语，说明了一个行为或动作，因此也不需要使用书名号。
在实际应用中，如果是在正式的文书或合同中提及“申请签订购买服务合同补充协议”，只需以正常的文本格式书写即可，无需添加任何标点符号来特别标示。如果需要强调或突出这个表述，可以考虑使用加粗、斜体等文本格式，但绝不是引号或书名号。
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