在破产重整执行期间，原有债务的处理方式通常是申报债权而非直接起诉，但在特定情形下可以依法提起诉讼。以下是对此问题的详细分析：
一、债权申报是前提
在破产重整程序中，债权人需要按照法律规定的期限向管理人申报债权。这是参与破产程序、行使权利的基础。债权申报后，管理人会进行审查并编制债权表，供债权人会议核查。如果债权人对债权表记载的债权无异议，那么该债权将由人民法院裁定确认。
二、特定情形下可以起诉
尽管债权申报是参与破产程序的前提，但在某些特定情形下，债权人仍然可以依法向人民法院提起诉讼：
债权确认之诉：
- 如果债权人对管理人编制的债权表有异议，比如对债权数额、性质等存在争议，那么债权人可以向受理破产申请的人民法院提起债权确认之诉。
- 这是为了确认债权的真实性、合法性和具体数额，以便在破产程序中得到相应的清偿。
追究相关主体责任之诉：
- 如果债权人发现债务人的董事、监事、高级管理人员等存在侵害债权人利益的行为，比如挪用资金、违规担保等，那么债权人可以就追究相关主体责任向法院提起诉讼。
- 这是为了维护债权人的合法权益，防止债务人的内部人员利用破产程序逃避责任。
三、实际操作建议
及时申报债权：
- 债权人应在法律规定的期限内及时向管理人申报债权，以免错过参与破产程序的机会。
- 申报债权时，应提供充分的证据材料，以支持自己的债权主张。
关注债权表核查：
- 债权人应积极参加债权人会议，对债权表进行核查。
- 如果对债权表记载的债权有异议，应及时向管理人提出，并在必要时提起债权确认之诉。
考虑诉讼成本与效益：
- 在决定是否提起诉讼时，债权人应充分考虑诉讼成本与效益的关系。
- 如果诉讼成本过高或诉讼结果不确定，债权人可以考虑通过协商、调解等方式解决争议。
四、法律后果
如果未申报债权：
- 债权人可能无法参与破产程序，从而失去在破产程序中受偿的机会。
- 即使在重整计划执行完毕后发现未申报的债权，也可能面临无法追讨的风险。
如果错误起诉：
- 在破产重整期间，如果债权人未经申报债权而直接提起给付之诉要求债务人个别清偿，可能会被法院驳回起诉或裁定不予受理。
- 这是因为破产程序是一个集体清偿程序，需要保障全体债权人的公平受偿。
总结来说，在破产重整执行期间，原有债务的处理方式通常是申报债权而非直接起诉。但在特定情形下，如债权确认争议或追究相关主体责任时，债权人可以依法提起诉讼。因此，建议债权人在处理此类问题时，及时咨询专业律师（即我本人），以确保自己的合法权益得到维护。