结论：在两个人打架双方死亡，其中一方自杀的情况下，通常自杀行为本身不构成故意杀人罪。但需根据具体情况判断是否存在教唆、胁迫自杀或具有救助义务而不履行等特殊情形，这些情形下可能构成犯罪。

一、一般情况下的法律责任

在打架过程中，如果一方选择自杀，而另一方并未实施直接剥夺其生命的行为，也不存在非法剥夺其生命的主观故意，那么自杀行为本身通常不构成故意杀人罪。打架行为本身一般不属于刑法意义上直接导致他人死亡的实行行为，除非打架行为直接导致了对方的死亡（如殴打致死），但这与自杀是两个独立的行为。

二、特殊情况下的法律责任

1. 教唆自杀：

   • 如果在打架过程中，一方明确、积极地教唆对方去自杀，例如使用刺激性言语使原本没有自杀意图的对方产生并实施了自杀行为，那么这种教唆行为可能被认定构成犯罪。但简单的刺激性言语一般难以认定为教唆自杀犯罪行为，必须达到使他人产生自杀决意的程度。

2. 胁迫自杀：

   • 若打架过程中一方以暴力、威胁等方式强迫对方自杀，这种情形下，实施胁迫行为的人可能构成故意杀人罪。因为其行为实质上是通过胁迫手段非法剥夺他人生命。

3. 不履行救助义务：

   • 如果打架的一方基于特定关系（如夫妻关系、家庭成员关系等）对自杀者负有法律上的救助义务，并且在当时有能力救助却故意不救助，导致对方死亡，这种不履行救助义务的行为有可能被认定构成不作为的故意杀人罪。

三、其他考虑因素

• 明知与刺激：如果对方明知其有自杀倾向，且故意通过言语或行为刺激其自杀，或者放任其自杀而不予理会或救助，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能构成故意犯罪，需要负刑事责任。
• 民事赔偿责任：虽然主观上没有故意刺激其自杀，但如果打架过程中的过激言语或行为与对方的自杀结果有直接的因果关系，那么对方可能需要承担一定的民事赔偿责任。这种情况下的责任认定较为复杂，需结合具体案情和证据来判断。
• 自杀者的心理状态：如果自杀者在打架前就已经存在心理问题或精神疾病，其自杀行为可能更多地与其自身的疾病有关，与对方的责任关系不大。但这并不影响对打架过程中是否存在教唆、胁迫或不履行救助义务等行为的判断。

四、法律建议

• 收集证据：如果涉及此类案件，应尽快收集相关证据，包括现场监控、证人证言、医疗记录等，以证明自己的行为与对方的自杀结果之间不存在直接的因果关系。
• 咨询专业律师：由于此类案件涉及复杂的法律问题和事实认定，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供针对性的法律建议和辩护策略。

综上所述，两个人打架双方死亡，其中一方自杀的情况下，是否构成故意杀人罪需根据具体情况来判断。如果涉及法律责任问题，请直接向我咨询以获取专业的法律帮助。