当家属为被羁押的犯罪嫌疑人或被告人提出取保候审申请时，公安机关会按照一系列法定流程来处理这一请求。以下是一个详细且清晰的解答，帮助您了解整个处理过程：

一、了解取保候审的适用条件

首先，家属需要明确取保候审的适用条件。根据《刑事诉讼法》的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取强制措施的。

二、准备申请材料

家属在申请取保候审时，应准备以下关键材料：

1. 取保候审申请书：详细阐述申请理由，如符合上述何种适用条件，并提供相关证据或情况说明。例如，若以患有严重疾病为由，需附上医院的诊断证明、病历等。
2. 申请人的身份证明：如身份证、户口本等，以证明申请人的身份和与被羁押人的关系。
3. 被羁押人的相关情况说明：包括案情简介、羁押地点等，以便公安机关了解案件背景。

三、向公安机关提交申请

在准备完申请材料后，家属应向负责案件的公安机关提交取保候审申请。提交时，需详细说明申请的事实和理由，并提供相应的证据或材料支持。

四、公安机关的审查流程

公安机关在收到取保候审申请后，会进行以下审查：

1. 审查申请人资格：确认申请人是否为被羁押的犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或聘请的律师。
2. 审查案件性质、情节：评估案件的社会危险性，以及取保候审是否可能对社会造成不良影响。
3. 审查保证方式：确认家属选择的保证方式（保证人保证或保证金保证）是否符合法律规定，并评估保证人的资格或保证金的数额是否适当。

五、作出决定并通知

公安机关在审查完毕后，会在合理时间内作出决定。若同意取保候审，会出具《取保候审决定书》，并通知家属提供保证人或交纳保证金。若不同意取保候审，会书面告知家属并说明理由。

六、执行取保候审及后续监督

若公安机关批准取保候审，执行机关（通常为公安机关）会通知家属带犯罪嫌疑人、被告人到指定地点办理手续，并告知应遵守的规定。在取保候审期间，被取保候审人必须严格遵守法律法规和执行机关的要求，如不得离开指定居住地、不得干扰案件调查等。公安机关会负责监督被取保候审人的行为，确保其遵守规定。

七、重要提示

• 取保候审并不意味着案件已经了结或犯罪嫌疑人无罪，而是基于特定条件下的临时措施。
• 在取保候审期间，公安机关将继续调查案件，并根据调查结果决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。
• 被取保候审人应积极配合调查，并严格遵守相关法律法规和规定，以确保自身权益不受损害。

在整个取保候审申请过程中，如果家属对法律程序、申请事项等有疑问，建议及时咨询专业律师，以获得准确有效的法律帮助。