交通肇事者送伤者到医院后逃逸，应当承担刑事责任和民事赔偿责任。以下从这两个方面进行详细分析：
刑事责任
构成交通肇事罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条的规定，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，构成交通肇事罪。
- 在此情况下，肇事者送伤者到医院后逃逸，如果事故已经构成重大事故（如致人重伤、死亡或公私财产重大损失），则肇事者已构成交通肇事罪。
逃逸情节的加重处罚：
- 交通肇事后逃逸，是交通肇事罪的加重情节。根据刑法规定，交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
- 如果逃逸行为导致伤者因得不到及时救助而死亡，则可能构成“因逃逸致人死亡”的特别恶劣情节，处七年以上有期徒刑。
民事赔偿责任
赔偿范围：
- 肇事者需承担因事故造成的伤者的医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 如果伤者构成残疾，肇事者还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；如果伤者死亡，肇事者需赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
逃逸不影响民事赔偿责任的承担：
- 肇事者逃逸并不影响其民事赔偿责任的承担。无论肇事者是否逃逸，其都需要对事故造成的损失承担赔偿责任。
- 在实际操作中，如果肇事者逃逸，伤者或其家属可以通过法律途径向肇事者追偿，包括向法院提起民事诉讼要求赔偿。
实际建议
- 立即报警并配合调查：对于肇事者而言，送伤者到医院后应立即报警并配合警方调查，这是履行法律义务和道德责任的表现。逃逸只会加重法律后果。
- 保留证据：对于伤者或其家属而言，应尽可能保留与事故相关的证据，如现场照片、医疗记录、证人证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的权益。
- 寻求法律帮助：如果事故造成严重后果或涉及复杂的法律问题，建议伤者或其家属及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。
总结来说，交通肇事者送伤者到医院后逃逸，不仅构成交通肇事罪并可能面临加重处罚，还需承担因事故造成的民事赔偿责任。因此，肇事者应立即报警并配合调查，而伤者或其家属则应保留证据并寻求法律帮助以维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。