刑事案件执行通知书下来后，一般情况下不能上诉，但存在例外情形。具体分析如下：

1. 执行通知书与上诉期限的关系
   执行通知书是法院在判决生效后，通知罪犯交付执行刑罚的文书。根据《刑事诉讼法》规定，上诉期限为：

   • 判决后10日内（被告人、自诉人、附带民事诉讼当事人）；
     
   • 裁定后5日内（对裁定不服的）。
     若执行通知书下达时已超过上诉期限，则丧失上诉权，判决正式生效并进入执行阶段。

2. 例外情形：通过审判监督程序救济
   若发现判决存在法定错误（如证据不足、适用法律错误、程序违法等），可依法申请再审：

   • 申请主体：罪犯本人、近亲属、法定代理人；
     
   • 申请途径：向原审法院或上一级法院提交书面申请；
     
   • 审查结果：法院决定再审后，中止原判决执行，按二审程序审理并可能改判。
     需注意：再审申请不停止执行，仅在法院裁定中止执行后暂停。

3. 实务建议

   • 若对判决不服，务必在上诉期限内提出，避免错过权利行使窗口；
     
   • 若已进入执行阶段，可委托律师审查案件材料，评估是否存在再审事由；
     
   • 执行阶段可依法申请减刑、假释或暂予监外执行，但需符合法定条件。

总结：执行通知书下达后，上诉权通常已消灭，但可通过审判监督程序寻求救济。具体操作需结合案件细节，建议及时咨询律师分析可行性。