您可以起诉，但需根据具体情况选择合适的法律途径。以下是针对不同情形的详细分析和处理建议：

1. 若对方行为构成故意毁坏财物
   根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，可处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。若您的狗价值较高（通常需达到5000元以上，具体以当地标准为准），且对方存在故意打狗、破坏财物的主观恶意，您可向公安机关报案，追究其刑事责任；同时可提起刑事附带民事诉讼，要求赔偿狗的价值、医疗费等损失。
   若狗的价值未达到刑事立案标准，您仍可依据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条，以“财产损害赔偿纠纷”为由向法院起诉，要求对方赔偿狗的市场价值、治疗费用等实际损失。需提供购买凭证、宠物医院诊断证明、费用清单等证据。

2. 若对方行为构成侵权（如虐待动物）
   目前我国《野生动物保护法》仅保护野生动物，家养宠物受《民法典》调整。若对方打狗行为超出合理限度（如无故殴打、虐待），您可依据《民法典》第一千一百六十五条，以“一般侵权责任纠纷”起诉，要求对方停止侵害、赔偿损失（如医疗费、宠物死亡赔偿等）及精神损害抚慰金（需证明您因狗受伤/死亡遭受严重精神痛苦）。
   证据关键点：现场监控录像、目击证人证言、宠物医院治疗记录、狗的品种及价值证明（如血统证书、购买发票）等。

3. 若对方行为涉及治安管理处罚
   即使不构成犯罪，若对方存在故意殴打他人宠物、扰乱公共秩序等行为，您可依据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条（殴打他人或故意伤害他人身体，处五日以上十日以下拘留）或第二十六条（寻衅滋事，处五日以上十日以下拘留），向公安机关报案，要求对对方进行行政处罚。处罚记录可作为后续民事诉讼的证据。

处理步骤建议：

1. 固定证据：立即拍摄现场照片/视频，保留医疗记录、费用单据，寻找目击证人并记录联系方式；
   
2. 报警处理：向公安机关说明情况，要求调取监控或立案调查；
   
3. 协商或诉讼：根据警方处理结果，选择与对方协商赔偿，或直接向法院起诉；
   
4. 精神损害主张：若狗对您有特殊情感价值（如导盲犬、陪伴多年），可在诉讼中主张精神损害赔偿，但需提供充分证据（如心理医生诊断、长期共同生活证明等）。

温馨提示：若对方行为恶劣（如多次虐待、当众施暴），可联系动物保护组织或媒体协助曝光，形成舆论压力，但需确保不侵犯对方合法权益。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询具体细节。