教师解除聘用关系和开除是两种截然不同的处理方式，它们在法律性质、适用情形、处理程序以及救济途径上均存在显著差异。以下是对这两者的详细解释：

一、法律性质

1. 解除聘用关系：这属于人事关系的终止，是正常的人事管理行为。它并不涉及对教师个人品行或行为的负面评价，而是基于合同到期、协商一致或法定事由等客观情况而做出的决定。

2. 开除处分：这属于纪律处分，是对教师严重违纪或违法行为的惩罚性措施。开除处分意味着教师因严重违反职业道德、工作纪律或法律法规，而被单位剥夺其继续从事该职业的资格。

二、适用情形

1. 解除聘用关系：

   • 合同期满未续签：当聘用合同到期，且双方未就续签达成一致时，合同自然终止。
   • 双方协商一致解除：在合同有效期内，双方经协商一致，可以提前解除聘用关系。
   • 法定事由解除：如教师年度考核不合格且不同意调整岗位、连续两年考核不合格等，单位有权根据合同约定或法律法规规定解除聘用关系。

2. 开除处分：

   • 严重违反职业道德或工作纪律：如贪污受贿、失职渎职等行为。
   • 被依法追究刑事责任：如教师因犯罪被判刑。
   • 违反政治纪律或造成重大社会不良影响：如发表不当言论、参与非法活动等。
   • 其他严重损害国家或单位利益的行为：如泄露机密、损害单位声誉等。

三、处理程序

1. 解除聘用关系：程序相对灵活。根据具体情况，可能涉及合同期满不续签的协商、双方协商一致解除的约定程序，或因考核不合格等法定事由解除的考核、通知等程序。

2. 开除处分：程序较为严格。通常需要经过调查、取证、听取当事人陈述和申辩等程序，确保处分的公正性和合法性。

四、救济途径

1. 解除聘用关系：如果教师对被解除聘用关系不服，可以按照《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》等有关规定申请人事争议仲裁、提起诉讼，以维护自己的合法权益。

2. 开除处分：如果教师对被开除处分不服，可以按照《事业单位人事管理条例》《事业单位工作人员处分规定》等有关规定申请复核、提出申诉，要求单位重新审查处分决定。

综上所述，教师解除聘用关系和开除在法律性质、适用情形、处理程序以及救济途径上均存在显著差异。因此，在处理相关问题时，应仔细区分两者的不同，并根据具体情况采取相应的措施。