结论：当事人对终审判决确实可以申请再审，但申请再审需满足一定的条件，并且不必然启动再审程序。法院会对再审申请进行审查，符合法定条件的，才会裁定再审。以下是对此问题的详细解答：

一、申请再审的法律依据

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如认为有错误，可以向上一级人民法院申请再审。特定情况下，如当事人一方人数众多或双方均为公民，也可向原审人民法院提出申请。这一规定同样适用于行政诉讼，即当事人对已生效的行政判决、裁定，如认为有误，也可向上一级人民法院申请再审。

二、申请再审的条件

申请再审并非随意可以提出，而是需要满足一定的条件。这些条件包括但不限于：

1. 新证据：有新的证据足以推翻原判决、裁定的。这通常指的是在原审中未发现或未提交的关键证据，该证据对案件结果有重大影响。
2. 程序违法：原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的，或者据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的，以及审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为的。这些情形都严重违反了法律程序，可能影响案件的公正审理。
3. 法律适用错误：原判决、裁定适用法律确有错误的。这指的是法院在审理案件时，对法律条文的理解或适用存在明显偏差，导致判决结果不公正。

三、申请再审的期限

申请再审的期限通常是在判决、裁定发生法律效力后的六个月内。若存在新的证据足以推翻原判决、原判决认定事实的主要证据是伪造的、据以作出原判决的法律文书被撤销或变更，以及发现审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为，自知道或应当知道之日起六个月内亦可提出。这一期限的设置旨在促使当事人及时行使权利，避免案件久拖不决。

四、申请再审的流程

1. 准备材料：再审申请书（需明确再审请求及依据）、原判决书复印件、新证据等。
2. 提交申请：向作出生效判决的法院或其上一级法院递交材料。
3. 法院审查：法院在收到申请后，会进行形式审查和实质审查，决定是否启动再审程序。这一过程通常需要一定的时间，法院会在审查结束后作出裁定。
4. 裁定结果：若符合再审条件，法院将作出中止执行原判决的裁定并进入再审程序；若不符合再审条件，法院将裁定驳回再审申请。

五、申请再审的注意事项

1. 材料真实性：所有提交的证据和陈述必须真实有效，虚假材料可能导致申请被驳回甚至承担法律责任。
2. 法律专业支持：再审程序复杂且专业性强，建议委托专业律师协助梳理案件事实、分析法律依据并制定诉讼策略。
3. 执行程序中止的可能性：再审期间是否中止原判决执行由法院决定，通常需申请人提供担保以保障对方权益。

六、再审失败后的其他救济途径

若再审申请被驳回，当事人还可以考虑以下救济途径：

1. 检察监督：向人民检察院申请检察建议或者抗诉。如果人民检察院认为判决、裁定确有错误，可以依法向人民法院提出检察建议或者抗诉，从而引发再审程序。
2. 信访申诉：虽然信访申诉不是法律上的正式救济途径，但当事人可以通过合法信访渠道反映问题，寻求相关部门的关注和帮助。不过，需注意避免滥用权利影响正常司法秩序。

总结与建议：虽然当事人对终审判决有权申请再审，但这一过程需严格遵循法律规定的条件和程序。在实际操作中，建议当事人充分了解相关法律规定和操作流程，确保自身权益得到有效维护。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。