结论：学校是否应承担责任，需根据具体情况判断，主要看学校是否尽到了教育、管理职责。若学校未尽到相应职责，导致孩子受伤，则学校应承担责任；反之，若学校已尽到职责，则可能无需承担责任。以下从不同角度进行分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条：“限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。” 八岁半的孩子属于限制民事行为能力人，因此，该条款直接适用于本案例。
二、学校责任分析
教育、管理职责的界定：
- 学校有义务提供安全的学习环境，包括但不限于确保教学设施、场地安全，以及对学生进行必要的安全教育。
- 学校还需制定并执行合理的安全管理制度，以预防学生受伤事故的发生。
学校未尽到职责的情形：
- 如果学校的教学设施存在安全隐患，如地面湿滑、有障碍物等，且学校未及时采取措施消除隐患，导致孩子摔倒受伤，则学校未尽到管理职责。
- 如果学校在组织活动时未进行充分的安全教育或未采取必要的安全措施，导致孩子受伤，同样视为学校未尽到教育、管理职责。
学校已尽到职责的情形：
- 如果学校已经提供了安全的学习环境，制定了合理的安全管理制度，并对学生进行了必要的安全教育，但孩子仍因自身原因（如奔跑、打闹等）摔倒受伤，且学校在事故发生后及时采取了救助措施，则学校可能已尽到教育、管理职责。
三、可能的后果及建议
若学校应承担责任：
- 学校需承担孩子的医疗费用、护理费用、交通费用等因受伤而产生的合理费用。
- 如果孩子的受伤对其未来生活造成了影响，如留下了后遗症或影响了学业，学校还可能需承担相应的赔偿责任。
- 建议：家长应收集相关证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以证明学校未尽到教育、管理职责，并与学校协商赔偿事宜。若协商不成，可向法院提起诉讼。
若学校无需承担责任：
- 学校无需承担上述赔偿责任。
- 建议：家长应关注孩子的康复情况，提供必要的心理支持。同时，可以与学校沟通，了解事故发生的具体原因，以便在未来采取预防措施，避免类似事故再次发生。
四、实际操作中的注意事项
- 证据收集：在事故发生后，家长应尽快收集相关证据，以证明学校是否尽到了教育、管理职责。证据可以包括医疗记录、现场照片、视频监控、证人证言等。
- 及时沟通：家长应与学校保持及时沟通，了解事故处理的进展和学校的态度。这有助于双方更好地协商赔偿事宜或准备诉讼材料。
- 法律咨询：在处理此类纠纷时，家长可以咨询专业律师（如我），以了解自己的权利和义务，以及如何更好地维护自己的合法权益。
综上所述，学校是否应承担责任需根据具体情况判断。家长在处理此类纠纷时，应关注证据收集、及时沟通以及法律咨询等方面的问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。