结论：建设逾期是否会寄律师函，这并非一个绝对的行为，而是取决于多种因素，包括合同条款、逾期程度、双方沟通情况以及债权人的法律意识等。以下是对这一问题的详细分析：
合同条款的约定：
- 在建设工程合同中，通常会明确约定工程的完成时间、逾期责任以及争议解决方式等条款。如果合同中明确规定了逾期后债权人可以采取寄送律师函等法律手段来维护自身权益，那么在逾期发生时，债权人确实有可能会寄送律师函。
逾期程度与双方沟通：
- 逾期的程度也是影响是否寄送律师函的重要因素。如果逾期时间较短，且双方能够保持有效沟通，债权人可能会选择通过协商、催告等方式来解决问题，而不是直接寄送律师函。然而，如果逾期时间较长，且双方沟通无果，债权人为了维护自身权益，很可能会选择寄送律师函。
债权人的法律意识与策略：
- 债权人的法律意识和采取的法律策略也会影响是否寄送律师函。一些债权人可能更倾向于通过法律手段来解决问题，以彰显其严肃性和权威性。在这种情况下，即使逾期情况并不严重，债权人也可能选择寄送律师函来施加压力。
律师函的作用与效果：
- 律师函作为一种法律文书，具有正式性和严肃性。它不仅可以向债务人表明债权人的立场和要求，还可以对债务人产生一定的法律威慑作用。然而，律师函并非万能的，其效果也取决于债务人的反应和后续行动。如果债务人无视律师函或拒绝履行义务，债权人可能需要采取进一步的法律措施来维护自身权益。
法律建议：
- 对于建设工程的双方而言，建议在合同中明确约定逾期责任和争议解决方式，以避免因逾期而产生的纠纷。
- 如果发生逾期情况，双方应首先保持有效沟通，尝试通过协商、催告等方式来解决问题。
- 如果沟通无果或逾期情况严重，债权人可以考虑寄送律师函来维护自身权益。但在此之前，建议咨询专业律师以了解相关法律程序和风险。
- 债务人在收到律师函后，应认真对待并尽快与债权人沟通协商解决方案，以避免进一步的法律纠纷。
可能后果：
- 如果债权人选择寄送律师函并后续采取法律措施（如起诉），债务人可能面临法律诉讼、财产保全、强制执行等风险。
- 逾期还可能影响债务人的信用记录和商业声誉，对其未来的业务发展产生不利影响。
如有任何关于建设工程逾期的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。