结论：孩子抚养权归母亲，但孩子被父亲打，父亲是否会被拘留需视具体情况而定。若父亲的行为构成违反治安管理行为或犯罪，则可能会被拘留；若情节较轻，则可能不会被拘留，但会受到其他处罚或教育措施。
详细分析：
治安管理处罚角度：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 在此情况下，如果父亲打孩子的行为构成了违反治安管理行为，且情节较为严重，那么公安机关有权对父亲进行拘留处罚。
刑事犯罪角度：
- 如果父亲打孩子的行为造成了孩子身体上的严重伤害，甚至构成了轻伤或重伤，那么父亲的行为可能构成故意伤害罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。
- 在此情况下，如果父亲的行为被认定为犯罪，那么除了可能面临刑事拘留外，还可能面临更严重的刑事处罚。
情节较轻的情况：
- 如果父亲打孩子的行为情节较轻，没有造成明显的身体伤害，或者属于初犯、偶犯，且能够认识到自己的错误并积极改正，那么公安机关可能会考虑不给予拘留处罚，而是采取警告、罚款或者责令其接受家庭教育指导等措施。
建议与行动：
- 及时报警：如果母亲发现孩子被父亲打，应立即报警，让公安机关介入调查处理。
- 收集证据：在报警的同时，母亲应尽可能收集相关证据，如伤情照片、医疗记录、目击者证言等，以便为后续的维权提供有力支持。
- 寻求法律援助：如果母亲对处理结果不满意或者认为父亲的行为已经构成了犯罪，可以寻求法律援助，向律师咨询相关法律问题，并考虑提起民事诉讼或刑事自诉来维护孩子的合法权益。
后续思考：
- 在处理此类案件时，除了考虑法律处罚外，还应关注孩子的心理健康和成长环境。父亲的行为可能对孩子造成长期的心理阴影，因此，除了法律制裁外，还应考虑对父亲进行心理辅导和教育，帮助其认识到自己的错误并改正。
- 同时，母亲也应加强对孩子的关爱和保护，确保孩子在一个安全、健康的环境中成长。如果必要，可以考虑变更抚养权或者寻求其他亲属或社会机构的帮助来共同照顾孩子。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。