涉案人员单方转账给公职人员一万多元是否严重，需结合转账性质、公职人员是否利用职务便利等因素综合判断，可能涉及违纪、违法甚至犯罪。具体分析如下：

1. 若转账属于正常人情往来，且无利益输送目的
   若转账是亲友间的正常礼尚往来（如节日红包、婚丧嫁娶礼金），且金额未明显超出当地正常水平（如单次不超过1000元），通常不构成违法。但需注意：公职人员对亲友的馈赠也有严格限制，若金额较大或频繁，仍可能违反《中国共产党纪律处分条例》或《中华人民共和国公职人员政务处分法》中关于“收受可能影响公正执行公务的礼品、礼金”的规定，面临警告、记过等处分。

2. 若转账存在利益输送目的，可能构成行贿罪
   根据《中华人民共和国刑法》第三百八十九条，为谋取不正当利益，给予国家工作人员财物的，构成行贿罪。即使单次转账金额为1万多元，若存在以下情形，仍可能被认定为犯罪：

   • 转账与公职人员职务行为相关（如为承揽工程、审批项目等）；
     
   • 转账后公职人员利用职务便利为行贿人谋取利益；
     
   • 存在多次转账或累计金额较大的情况。
     行贿罪的立案标准为“行贿数额在3万元以上”，但若存在“通过行贿谋取职务提拔、调整”等特殊情形，1万元以上也可能被追究刑事责任。

3. 若公职人员构成受贿，转账方可能同时涉罪
   根据《刑法》第三百八十五条，公职人员利用职务上的便利，索取或非法收受他人财物，为他人谋取利益的，构成受贿罪。若公职人员收受1万多元后为转账方谋取利益，即使转账方未明确提出“谋取不正当利益”的要求，也可能因“经济往来中违反国家规定收受财物”被认定为受贿共犯或行贿罪。

建议：

• 若转账性质存疑，应立即停止类似行为，并保留转账记录、沟通记录等证据；
  
• 若已涉及案件，建议如实说明转账背景（如是否为借款、投资等），避免因隐瞒事实加重法律责任；
  
• 具体定性需结合转账目的、公职人员职务行为、是否谋取利益等细节综合判断，可进一步向我提供详细信息以便分析。