在公诉阶段，取保候审的决定权主要归属于人民检察院，但在特定情况下，人民法院也有权决定。以下是对这一问题的详细分析：

一、人民检察院的决定权

在公诉阶段，即案件已经由公安机关侦查完毕并移送至人民检察院审查起诉的阶段，人民检察院成为取保候审决定的主要机关。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，人民检察院在审查起诉过程中，如果认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，或者可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的等，可以决定对犯罪嫌疑人取保候审。

二、人民法院的决定权

虽然公诉阶段主要由人民检察院负责审查起诉，但如果案件在审查起诉过程中被提起公诉，并进入审判阶段，此时人民法院在审理过程中，如果认为被告人符合取保候审的条件，也有权决定对被告人取保候审。不过，在公诉阶段尚未进入审判阶段时，人民法院通常不直接涉及取保候审的决定。但值得注意的是，若在公诉阶段，案件已经移送至法院但尚未开庭审理，且法院认为有必要取保候审的，法院也可以作出取保候审决定。

三、取保候审的申请与审查

无论是人民检察院还是人民法院决定取保候审，都需要遵循一定的申请与审查程序。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护律师可以提出取保候审的申请，并提交相关材料证明犯罪嫌疑人、被告人符合取保候审的条件。决定机关在收到申请后，会依法进行审查，并作出是否准予取保候审的决定。

四、取保候审的执行与监督

取保候审的决定作出后，由被取保候审人居住地的公安机关负责执行。执行机关需在收到法律文书后24小时内开始执行，并告知被取保候审人其应遵守的规定和义务。同时，决定机关和执行机关都会对被取保候审人进行监督，确保其遵守相关规定，不逃避或妨碍刑事诉讼的进行。

五、特殊情况下的取保候审

在某些特殊情况下，如犯罪嫌疑人、被告人患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女等，即使可能判处较重的刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的，也可以决定取保候审。这些特殊情况下的取保候审决定，同样需要遵循上述的申请与审查程序。

总结来说，在公诉阶段，取保候审的决定权主要归属于人民检察院，但在案件进入审判阶段前若法院认为有必要，或存在特殊情况时，人民法院也有权决定取保候审。如果您或您身边的人涉及此类情况，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。