针对盗窃嫖资2100元，4月8日进入看守所，4月13日取保直诉的案件，公安机关和检察院的处理方式如下：

一、公安机关的处理

1. 立案侦查：

   • 公安机关在接到报案后，会首先进行立案侦查，收集相关证据，包括现场勘查、询问证人、调取监控录像等，以确定犯罪事实和犯罪嫌疑人的身份。

2. 刑事拘留与取保候审：

   • 在本案中，犯罪嫌疑人于4月8日被送入看守所，这通常意味着公安机关已对其采取了刑事拘留措施。
   • 4月13日取保直诉，表明公安机关在侦查过程中认为犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，或者可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的等，因此决定对其取保候审，并直接向检察院提起诉讼。

3. 移送审查起诉：

   • 公安机关在侦查终结后，会将案件移送至检察院进行审查起诉。在移送时，公安机关会提交侦查卷宗、证据材料等，供检察院审查。

二、检察院的处理

1. 审查起诉：

   • 检察院在收到公安机关移送的案件后，会进行审查起诉工作。这包括审查案件事实是否清楚、证据是否确实充分、犯罪嫌疑人的行为是否构成犯罪等。
   • 在本案中，检察院会特别关注盗窃嫖资这一行为的性质。根据相关法律规定，嫖资属于违法所得，一般不应受到法律保护。然而，盗窃行为本身仍然构成犯罪，需要依法追究刑事责任。

2. 决定是否起诉：

   • 经过审查后，检察院会根据案件情况决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。如果认为犯罪嫌疑人的行为构成犯罪，且证据确实充分，那么检察院会向法院提起公诉。
   • 在本案中，由于盗窃金额为2100元，属于数额较大的情形，因此检察院很可能会决定对犯罪嫌疑人提起公诉。

3. 量刑建议：

   • 在提起公诉的同时，检察院还会根据犯罪嫌疑人的犯罪情节、悔罪表现等因素，提出量刑建议。在本案中，检察院可能会建议法院对犯罪嫌疑人判处相应的刑罚，如拘役、有期徒刑等，并可能建议并处罚金。

特别说明：

• 盗窃嫖资的行为虽然针对的是违法所得，但仍然构成盗窃罪。因为盗窃行为本身侵犯了公私财物的所有权，而嫖资的违法性并不影响盗窃行为的定性。
• 取保候审并不意味着犯罪嫌疑人可以逃避法律责任。在取保候审期间，犯罪嫌疑人需要遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，不得干扰证人作证等。如果违反规定，可能会被撤销取保候审并重新被拘留。

建议：

• 如果您或您身边的人涉及此类案件，建议积极配合公安机关和检察院的工作，如实陈述事实，提供相关证据。
• 同时，可以寻求专业律师的帮助，以更好地维护自己的合法权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。