核心结论：盗窃嫖资2100元，嫌疑人4月8日被送看守所，4月13日取保候审未被逮捕，后续公安分局可能采取的处理方式主要包括继续侦查、移送审查起诉或撤销案件，具体取决于案件证据和情节。以下为详细分析：

一、案件基本情况梳理

1. 盗窃金额与性质：盗窃嫖资2100元，属于盗窃公私财物的行为。根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，构成盗窃罪。虽然嫖资本身属于非法所得，但盗窃行为本身仍受法律规制。

2. 刑事强制措施：嫌疑人4月8日被送看守所，表明其已被采取刑事拘留措施。4月13日取保候审，说明公安机关认为其社会危险性较低，符合取保候审条件，因此未提请逮捕。

二、公安分局后续可能采取的处理方式

1. 继续侦查：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十五条，公安机关对已经立案的刑事案件，应当进行侦查，收集、调取犯罪嫌疑人有罪或者无罪、罪轻或者罪重的证据材料。
   • 具体操作：公安分局将继续收集证据，包括但不限于现场勘验、证人证言、监控录像、嫌疑人供述等，以查明案件事实。

2. 移送审查起诉：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百六十二条，公安机关对犯罪嫌疑人侦查终结后，认为犯罪事实清楚，证据确实、充分的，应当写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。
   • 具体操作：若公安分局认为证据充分，足以证明嫌疑人构成盗窃罪，将制作起诉意见书，并将案件移送检察院审查起诉。

3. 撤销案件：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条，有下列情形之一的，不追究刑事责任，已经追究的，应当撤销案件，或者不起诉，或者终止审理，或者宣告无罪：（一）情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的；（二）犯罪已过追诉时效期限的；（三）经特赦令免除刑罚的；（四）依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉的；（五）犯罪嫌疑人、被告人死亡的；（六）其他法律规定免予追究刑事责任的。
   • 具体操作：若公安分局在侦查过程中发现证据不足，或者认为嫌疑人行为情节显著轻微、危害不大，不构成犯罪，将决定撤销案件。

三、影响案件处理的因素

1. 证据收集情况：证据是否充分、确凿，是决定案件走向的关键因素。若证据不足，公安分局可能选择撤销案件或继续侦查。

2. 嫌疑人态度：嫌疑人是否认罪认罚、是否积极退赃退赔等，可能影响公安分局对其社会危险性的评估，进而影响是否提请逮捕或移送审查起诉。

3. 法律政策变化：法律政策的调整也可能影响案件处理。例如，若相关司法解释对盗窃罪的数额标准进行调整，可能影响案件的定性。

四、建议

1. 嫌疑人方面：建议嫌疑人积极配合公安机关调查，如实陈述事实，争取从宽处理。同时，可考虑委托律师提供法律帮助，维护自身合法权益。

2. 被害人方面：若被害人认为自身权益受到侵害，可向公安机关报案，并提供相关证据材料。同时，可关注案件进展，及时了解处理结果。

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