结论：冷静期男方打电话到女方工作单位公开丈夫的身份这一行为，是否违法需视具体情况而定，但很可能构成对女方隐私权的侵犯。
分析：
隐私权保护：
- 在我国，隐私权是受到法律保护的公民基本权利之一。隐私权通常包括个人生活的安宁、个人信息的保密以及个人私事的自主决定等。
- 男方在冷静期内，未经女方同意，擅自将其丈夫身份信息透露给女方的工作单位，很可能干扰了女方的正常工作秩序，侵犯了女方的隐私权。
行为性质判断：
- 如果男方的行为是出于恶意，如故意骚扰、报复或损害女方名誉等，那么这种行为不仅可能构成隐私权侵犯，还可能涉及侮辱、诽谤等违法行为。
- 如果男方的行为是出于误解或无意之举，虽然可能不构成故意违法，但仍然可能因侵犯隐私权而需要承担相应的民事责任。
法律后果：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵犯他人隐私权的，应当承担停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失等民事责任。
- 如果男方的行为情节严重，如造成女方名誉严重受损或精神受到严重伤害等，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
建议：
女方角度：
- 如果女方认为男方的行为侵犯了其隐私权，可以先尝试与男方沟通，要求其停止侵权行为并赔礼道歉。
- 如果沟通无果，女方可以向工作单位说明情况，请求工作单位协助处理，或者向公安机关报案，寻求法律帮助。
- 女方还可以考虑向法院提起民事诉讼，要求男方承担侵权责任并赔偿损失。
男方角度：
- 男方应认识到自己的行为可能带来的法律后果，尊重女方的隐私权和个人空间。
- 如果男方有沟通或解决问题的意愿，应主动与女方联系，以和平、理性的方式解决分歧。
额外提醒：
- 在冷静期内，双方应保持冷静和理性，避免采取过激或违法的行为来解决问题。
- 如果双方无法自行协商解决分歧，可以考虑寻求专业的婚姻家庭咨询或法律帮助。
总之，冷静期男方打电话到女方工作单位公开丈夫的身份这一行为，很可能构成对女方隐私权的侵犯。双方应尊重彼此的隐私权和个人空间，以和平、理性的方式解决分歧。如有需要，可以向专业律师咨询以获取更具体的法律建议。