结论：故意伤害人但被被伤害人打伤的情况下，是否承担刑事责任需根据具体情形判断，主要取决于伤害行为的性质、伤害程度以及行为人在事件中的角色和主观意图。以下从不同角度详细分析：
一、构成故意伤害罪的情况
主动实施伤害行为：
- 如果行为人主动对他人实施伤害行为，即使自己在此过程中也被对方打伤，只要其伤害行为导致对方达到轻伤及以上程度，就构成故意伤害罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
- 例子：甲因琐事与乙发生争执，甲主动持棍击打乙，导致乙轻伤，同时甲在打斗过程中也被乙打伤。甲仍需承担故意伤害乙的刑事责任。
共同犯罪中的角色：
- 在共同犯罪中，即使行为人是在他人的教唆、指使下实施伤害行为，也不能免除其刑事责任。教唆他人犯罪的，应当按照他在共同犯罪中所起的作用处罚。如果行为人在犯罪过程中起主要作用，如主动实施伤害行为、积极参与策划等，则可能被视为主犯，承担较重的刑事责任；如果起次要或辅助作用，则可能被视为从犯，从轻、减轻处罚或者免除处罚，但并不意味着可以完全不承担刑事责任。
- 例子：丙受丁指使，对戊实施故意伤害行为，导致戊重伤。丙和丁均构成故意伤害罪，丙作为从犯，可能从轻或减轻处罚，但仍需承担刑事责任。
二、不构成故意伤害罪的情况
正当防卫：
- 如果行为人是在遭受不法侵害时，为了保护自己或他人的合法权益而采取的防卫行为，且防卫行为没有明显超过必要限度，造成不法侵害人损伤的，属于正当防卫，不负刑事责任。
- 例子：己在遭受庚的暴力攻击时，为了保护自己而进行反击，导致庚受伤。如果己的反击行为没有超过必要限度，则不构成故意伤害罪。
意外事件或过失行为：
- 如果行为人没有故意伤害他人的意图，而是由于疏忽大意或过于自信导致他人受伤，且伤害程度未达到轻伤及以上，可能不构成故意伤害罪，但可能需承担民事赔偿责任或根据《中华人民共和国治安管理处罚法》接受行政处罚。
- 例子：辛在搬运重物时，不慎将重物掉落，砸伤了路过的壬。如果辛没有故意伤害壬的意图，且壬的伤情未达到轻伤及以上，辛可能不构成故意伤害罪。
三、特殊情形下的处理
相互斗殴：
- 在相互斗殴的情况下，双方都可能具有伤害对方的故意。如果斗殴导致一方或双方受伤，且伤情达到轻伤及以上，双方都可能构成故意伤害罪。但具体责任需根据双方的行为、伤害程度以及主观意图等因素综合判断。
- 例子：癸和子因琐事发生争执并相互斗殴，导致双方均受伤。如果双方的伤情均达到轻伤及以上，癸和子都可能构成故意伤害罪。
被害人谅解：
- 虽然被害人的谅解可以在一定程度上影响量刑，但并不能完全免除行为人的刑事责任。法院在判决时会综合考虑各种因素，包括行为人的认罪态度、悔罪表现以及被害人的谅解情况等。
建议：
- 如果您或他人涉及此类情况，建议立即收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以便在后续的法律程序中维护自己的合法权益。
- 无论是否构成刑事犯罪，如果造成了他人人身伤害，都需要承担相应的民事赔偿责任。因此，建议积极与对方协商赔偿事宜，以避免不必要的法律纠纷。
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