结论：宠物店售卖患病小狗引发的客户投诉及退赔问题，主要归属于市场监督管理部门管辖，若涉及动物防疫问题，则可能同时涉及农业农村部门。以下从不同角度详细分析：
一、管辖部门分析
市场监督管理部门：
- 法律依据：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品或接受服务时，其合法权益受到损害的，有权向销售者或服务者要求赔偿。宠物店作为销售者，若售卖的小狗存在质量问题（如患病），则侵犯了消费者的合法权益，消费者有权向市场监督管理部门投诉。
- 职责范围：市场监督管理部门负责监管市场交易行为，保护消费者合法权益，对销售假冒伪劣商品、欺诈消费者等行为进行查处。因此，对于宠物店售卖患病小狗的投诉，市场监督管理部门有权进行调查处理，并要求宠物店进行退赔。
农业农村部门：
- 法律依据：根据《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定，农业农村部门负责动物防疫的监督管理工作。若宠物店售卖的小狗未按照规定进行检疫或存在疫病传播风险，则可能违反动物防疫法规。
- 职责范围：农业农村部门有权对宠物店的动物防疫情况进行检查，对违反动物防疫法规的行为进行处罚。因此，若客户投诉的小狗涉及动物防疫问题，农业农村部门也有权介入处理。
二、法律建议
对于客户：
- 保留证据：在投诉前，客户应保留好购买小狗的相关证据，如购买合同、付款凭证、小狗患病的医疗证明等，以便在投诉时提供有力支持。
- 选择投诉渠道：客户可以根据具体情况选择向市场监督管理部门或农业农村部门投诉。若主要问题是小狗的质量问题，建议优先向市场监督管理部门投诉；若涉及动物防疫问题，则可同时向农业农村部门投诉。
- 寻求法律援助：若投诉无果或宠物店拒绝退赔，客户可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
对于宠物店：
- 遵守法律法规：宠物店应严格遵守相关法律法规，确保售卖的小狗符合质量标准，并按照规定进行检疫。
- 积极处理投诉：若接到客户投诉，宠物店应积极与客户沟通，了解投诉原因，并尽快提出解决方案。若确实存在售卖患病小狗的情况，应主动承担责任，进行退赔。
- 加强内部管理：宠物店应加强内部管理，提高员工对动物防疫和消费者权益保护的认识，避免类似问题再次发生。
三、可能的法律后果
对于宠物店：
- 若经调查确认宠物店售卖患病小狗，市场监督管理部门可依据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，对宠物店进行处罚，包括罚款、没收违法所得等。
- 若涉及动物防疫问题，农业农村部门可依据《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定，对宠物店进行处罚，包括责令改正、罚款、吊销动物防疫条件合格证等。
对于客户：
- 若客户能够提供充分证据证明宠物店售卖患病小狗，且投诉得到相关部门支持，客户有权要求宠物店进行退赔，并可能获得相应的赔偿。
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