陌生人殴打小孩后逃逸，需根据伤情程度、行为性质承担不同法律责任，具体分析如下：

1. 若小孩伤情构成轻伤及以上（如骨折、脑震荡等）
   根据《刑法》第234条，行为人构成故意伤害罪，可处3年以下有期徒刑、拘役或管制；若致人重伤，处3-10年有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处10年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。
   关键点：需通过法医鉴定确认伤情等级，公安机关立案后追究刑事责任。即使行为人逃逸，警方可通过监控、目击证人等线索追查，家属可同步向公安机关报案并要求立案。

2. 若小孩伤情未达轻伤标准（如皮肤擦伤、轻微肿胀等）
   行为人违反《治安管理处罚法》第43条，构成殴打他人或故意伤害他人身体，可处5-10日拘留并处200-500元罚款；情节较轻的（如未造成明显伤害），处5日以下拘留或500元以下罚款。
   关键点：即使伤情轻微，家属仍可报警要求公安机关对行为人行政处罚，并可通过调解要求赔偿医疗费、护理费等实际损失。

3. 若行为人存在其他恶劣情节（如多次殴打、持凶器、针对未成年人等）
   即使伤情未达轻伤，也可能被认定为“情节恶劣”，从而升级为刑事案件。例如：

   • 根据《刑法》第293条，随意殴打未成年人致其心理创伤，可能构成寻衅滋事罪；
     
   • 若行为人明知小孩有疾病或残疾仍实施殴打，可能被认定为“手段特别残忍”，加重处罚。

家属可采取的行动：

1. 立即报警并保留现场证据（如监控录像、目击证人联系方式）；
   
2. 带小孩就医并保存病历、医疗费票据；
   
3. 若行为人逃逸，要求公安机关通过“天网系统”、人脸识别等技术追查；
   
4. 同步向当地妇联、未成年人保护中心求助，申请心理干预或法律援助。

特别提醒：若行为人逃逸后长期未归案，家属可向法院提起民事诉讼，要求行为人赔偿医疗费、护理费、精神损害抚慰金等，即使其未被刑事处罚，仍需承担民事责任。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体流程。