结论：在公司做兼职时发错钱给客户，首先不要慌张，这属于工作中的操作失误，可以通过积极沟通、内部处理以及法律途径等多种方式来解决。以下是从不同角度为你详细分析的解决方案：
一、积极与客户沟通
- 及时联系：一旦发现发错钱，应立即与客户取得联系，说明情况，并诚恳道歉。这是解决问题的第一步，也是展现你诚意和责任感的重要方式。
- 协商解决：与客户协商，看是否能够直接退还多发的款项。如果客户同意，那么问题就得到了最直接的解决。
二、内部处理流程
- 报告上级：将情况及时报告给你的上级或公司相关部门，如财务部门或人力资源部门。他们可能会提供进一步的指导或协助你处理此事。
- 遵循公司政策：了解并遵循公司的相关政策和程序，比如是否有关于错误支付或退款的具体规定。按照公司政策行事，可以确保你的行为符合公司要求，避免不必要的麻烦。
三、法律途径（如客户拒绝退还）
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因你的失误导致多发了钱给客户，这构成了一种不当得利。客户有义务返还这部分多得的利益。
- 如果客户拒绝退还，你可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。
具体步骤：
- 收集证据：保留所有与错误支付相关的证据，如转账记录、聊天记录、邮件等。这些证据将有助于你在法律程序中证明自己的主张。
- 发送律师函：在正式提起诉讼之前，你可以考虑委托律师向客户发送律师函，要求其退还多发的款项。律师函通常具有一定的威慑力，可能促使客户主动退还款项。
- 提起诉讼：如果客户仍然拒绝退还，你可以向法院提起诉讼，要求客户返还多得的利益。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来支持自己的主张。
四、预防措施
- 加强审核：在未来的工作中，加强对支付流程的审核，确保每次支付都准确无误。这可以减少类似错误的发生。
- 提高警惕：保持高度的警惕性，特别是在处理涉及金钱的事务时。细心和谨慎是避免错误的关键。
额外建议：在整个处理过程中，保持冷静和理性是非常重要的。不要因为一时的失误而过于自责或焦虑，而是应该积极采取措施来解决问题。如果你在整个过程中遇到任何法律问题或困惑，都可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供进一步的法律建议。