信用卡欠款两万多元，确实存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉以及何时被起诉，取决于多种因素。以下是对此问题的详细分析：
一、银行的处理方式及起诉权利
催收阶段：
- 当持卡人出现逾期还款时，银行通常会先通过短信、电话等方式进行催收，提醒持卡人尽快还款。
- 如果催收无果，银行可能会委托第三方催收机构进行更频繁的催收，甚至可能上门催收。
法律途径：
- 若催收仍无效果，且欠款金额较大（如两万元），银行有权选择通过法律途径追讨欠款。
- 银行会向法院提起诉讼，要求持卡人偿还欠款及可能产生的利息、违约金等费用。
二、影响银行起诉决策的因素
欠款金额与期限：
- 欠款金额越大、逾期时间越长，银行采取法律手段的可能性越高。两万元的欠款金额已达到一定规模，若长期未还，银行很可能选择起诉。
- 逾期时间方面，短期逾期（如1-3个月）银行通常以催收为主，但逾期超过90天，特别是半年甚至一年以上，且持卡人无任何还款行为，银行起诉的可能性显著增加。
持卡人的还款意愿与能力：
- 若持卡人表现出积极的还款意愿，并与银行协商制定还款计划，银行可能暂缓起诉。
- 若持卡人完全失去联系或明确表示无力偿还，银行将更倾向于通过法律途径解决。
银行的内部政策与风险考量：
- 不同银行对逾期账款的处理政策存在差异。部分银行可能因风险控制需要，在特定条件下优先选择诉讼清收。
三、法律后果与应对建议
法律后果：
- 被起诉后，持卡人需承担诉讼费用，并面临法院判决强制执行的风险。
- 若拒不履行判决，可能被列入失信被执行人名单，影响个人信用记录，甚至可能面临限制高消费、限制出境等措施。
- 此外，信用卡逾期还将产生高额利息和滞纳金，从消费当天起按日计收万分之五的利息，并按月计算复利。同时，银行将收取最低还款额未还部分5%的滞纳金。
应对建议：
- 主动沟通：发现无法按时还款时，应立即与银行联系说明情况，表达还款意愿。
- 协商方案：尝试申请分期还款、延期还款等个性化解决方案，以减轻还款压力。
- 法律咨询：若已收到法院传票或面临起诉风险，建议尽快寻求专业律师帮助，了解自身权益和应对策略。
四、特殊情况说明
- 恶意透支：根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还的行为，可能构成信用卡诈骗罪。在这种情况下，持卡人不仅可能面临民事诉讼，还可能承担刑事责任。但需要注意的是，恶意透支的认定需要满足一定的条件，并非所有逾期行为都构成恶意透支。
总结来说，信用卡欠款两万多元时，银行是否会起诉取决于多种因素。为避免可能的法律纠纷和不良后果，建议持卡人积极与银行沟通，展现还款意愿和能力，并尽快制定合理的还款计划。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。