结论：父母给儿子全款买房且房产证上仅登记儿子一人名字时，可以私下写协议，但需注意协议的法律效力和具体内容，以确保各方权益。

分析说明：

1. 协议的法律效力：

   • 私下写的协议，如果内容合法、双方意思表示真实且不违反法律强制性规定，是具有法律效力的。这样的协议可以视为父母与儿子之间的一种约定，用于明确房产的归属、使用、处分等事项。
   • 但需要注意的是，如果协议内容涉及第三方权益（如未来可能涉及的配偶权益），则可能因损害第三方利益而无效或部分无效。

2. 协议的具体内容：

   • 协议应明确房产的归属，即确认房产完全归儿子所有，还是父母保留部分权益（如居住权、收益权等）。
   • 如果父母希望在未来对房产有一定的控制权或处置权，应在协议中明确约定，例如设定居住权、限制儿子擅自处分房产等。
   • 协议还可以约定在特定情况下（如儿子不孝、违反家庭规定等）房产的处置方式，以作为对儿子的约束。

3. 协议的形式与公证：

   • 协议可以以书面形式签订，并由双方签字或盖章确认。为了增强协议的法律效力，可以考虑进行公证。公证可以确保协议的真实性、合法性，并在未来发生纠纷时提供有力的证据。
   • 但公证并非必须，如果双方对协议内容无异议且愿意遵守，不公证也不会影响协议的效力。

4. 可能涉及的法律风险：

   • 如果协议内容不明确或存在歧义，可能导致未来发生纠纷时难以确定各方权益。
   • 如果儿子在未来结婚，该房产可能被视为其个人财产（如果协议明确约定）或夫妻共同财产（如果未明确约定且符合相关法律规定），这取决于协议的具体内容和相关法律法规的规定。

行动建议：

• 在签订协议前，建议咨询专业律师，以确保协议内容合法、有效且符合各方利益。
• 协议应明确、具体，避免使用模糊或歧义的表述。
• 如果可能，考虑对协议进行公证，以增强其法律效力。
• 在未来发生任何可能影响房产权益的情况时（如儿子结婚、离婚等），应及时咨询律师并考虑对协议进行修改或补充。

后续思考依据：

• 协议的法律效力取决于其内容是否合法、双方意思表示是否真实以及是否违反法律强制性规定。
• 协议的具体内容应根据各方需求和实际情况进行约定，以确保各方权益得到保障。
• 在涉及房产等重大财产时，签订协议并考虑公证是一种谨慎且有效的做法，可以降低未来发生纠纷的风险。

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