结论概述：在丈夫去世且存在私生子的情况下，合法妻子、两个孩子、母亲（即丈夫的母亲）以及岳父（通常岳父不属于法定继承人范畴，除非有特殊情况如遗嘱指定等）的遗产分配，主要依据《中华人民共和国民法典》中关于继承的规定进行。一般情况下，岳父不参与遗产分配，合法妻子、两个孩子和母亲作为第一顺序继承人，原则上均等分配遗产；私生子同样享有继承权，其应得份额需从遗产中划出后再由其他第一顺序继承人分配剩余部分。以下是对此问题的详细分析：
一、法定继承顺序与份额
第一顺序继承人：根据《民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母。因此，在丈夫去世后，其合法妻子、两个孩子以及母亲（即丈夫的母亲）是第一顺序继承人。
私生子的继承权：私生子，即非婚生子女，根据《民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。因此，私生子同样享有继承权，且继承份额与婚生子女相同。
继承份额的分配：在第一顺序继承人之间，原则上遗产应均等分配。但如果有特殊情况，如继承人生活有特殊困难又缺乏劳动能力，或者对被继承人尽了主要扶养义务等，可以给予适当多分。
二、具体分配计算（假设遗产总额为X）
私生子应得份额：假设私生子为一人，且不存在特殊情况，则其应得份额为遗产总额的\(\frac{1}{4}\)（因为共有四个第一顺序继承人：合法妻子、两个孩子、母亲，加上私生子共五人，但考虑到私生子是在原有四个继承人基础上新增的，若按均等原则，可理解为从整体中划出其应得部分，实际操作中可能需先确定私生子份额，再分配剩余部分，此处为简化计算，假设私生子直接分得\(\frac{1}{（4+1）}\)的近似处理方式并不严谨，但为说明问题，暂以此为例，实际应先划出私生子份额后，剩余由其他四人分配，若均等则各得\(\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{3}{16}\)的遗产总额比例对应的金额，但更准确的计算方式是私生子得\(\frac{1}{n+1}\)（n为其他第一顺序继承人数量），此处n=4，所以私生子得\(\frac{1}{5}\)，剩余\(\frac{4}{5}\)由其他四人均分，即每人\(\frac{1}{5}\)，综合来看，私生子得\(\frac{1}{5}\)，其他每人也得\(\frac{1}{5}\)（在私生子存在且无其他特殊情况下，均等分配原则下的简化理解，实际分配可能因具体情况有所调整）。更准确的表述应为：在确定私生子继承权后，遗产首先需满足私生子的继承份额，假设遗产总额为X，私生子应得\(\frac{1}{5}X\)（在均等分配且无其他特殊情况下，若仅考虑私生子与四个法定第一顺序继承人，则私生子占五分之一），剩余\(\frac{4}{5}X\)由合法妻子、两个孩子和母亲均分，即每人\(\frac{1}{5}X\)（若严格按均等且无其他因素影响）。但实际操作中，可能需先根据具体情况确定私生子份额，再分配剩余，此处为说明问题，采用简化均等分配思路下的比例说明。
岳父的继承权：岳父通常不属于法定继承人范畴，除非丈夫通过遗嘱指定岳父为继承人，或者存在其他特殊情况（如岳父对丈夫尽了主要扶养义务且丈夫无其他继承人等，但这种情况极为罕见）。因此，在一般情况下，岳父不参与遗产分配。
三、特殊情况下的调整
继承人生活困难或缺乏劳动能力：如果继承人中有生活特别困难或缺乏劳动能力的人，可以在分配遗产时给予适当照顾，多分一些遗产。
继承人尽了主要扶养义务：如果某个继承人对被继承人尽了主要扶养义务，也可以多分一些遗产。
遗嘱指定继承：如果丈夫生前立有遗嘱，指定了遗产的分配方式，那么应按照遗嘱进行分配，但遗嘱不得违反法律强制性规定和公序良俗。
四、建议与后续行动
收集证据：为了确保遗产分配的公平性和合法性，建议收集相关证据，如丈夫的遗嘱（如有）、继承人的身份证明、遗产清单等。
协商分配：在继承人之间，可以尝试通过协商的方式分配遗产，以达成共识并避免纠纷。
法律途径：如果协商不成，可以通过法律途径解决遗产分配问题，如向法院提起诉讼。
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