继承人参加诉讼后，在一定条件下是可以增加诉请的。以下从不同角度为您详细分析：

一、法律背景与原则

在民事诉讼中，当事人有权在法律规定的范围内处分自己的民事权利和诉讼权利。这包括提起诉讼、变更诉讼请求、放弃诉讼请求等。继承人作为诉讼当事人，同样享有这些权利。因此，从原则上讲，继承人在参加诉讼后，如果发现原有的诉讼请求不足以维护自己的合法权益，或者基于新的事实和理由，是有权增加诉讼请求的。

二、增加诉请的具体条件

1. 在举证期限届满前提出：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人增加、变更诉讼请求或者提出反诉的，应当在举证期限届满前提出。这是为了确保诉讼的顺利进行，避免因为诉讼请求的频繁变更而导致诉讼拖延。

2. 与原有诉请具有关联性：

   • 增加的诉讼请求应当与原有的诉讼请求具有关联性，即它们应当基于相同的事实和法律关系。如果增加的诉讼请求与原有诉请毫无关联，那么法院可能会要求当事人另行起诉。

3. 不违反法律强制性规定：

   • 增加的诉讼请求不得违反法律的强制性规定，如不得违反公序良俗、不得侵犯他人合法权益等。

三、实际操作中的注意事项

1. 及时与法院沟通：

   • 继承人在决定增加诉讼请求后，应及时与法院沟通，了解增加诉请的具体流程和所需材料，以确保诉请能够得到及时处理。

2. 准备充分证据：

   • 增加诉讼请求往往需要提供新的证据来支持。因此，继承人在提出增加诉请前，应充分准备相关证据，以确保诉请的合理性和合法性。

3. 考虑诉讼成本和时间：

   • 增加诉讼请求可能会延长诉讼时间，增加诉讼成本。因此，继承人在决定增加诉请前，应充分考虑这些因素，权衡利弊后做出决策。

四、可能面临的法律后果

1. 诉请被驳回：

   • 如果继承人增加的诉讼请求不符合法律规定的条件，或者法院认为增加诉请与案件无关，那么法院可能会驳回增加的诉请。

2. 诉讼时间延长：

   • 增加诉讼请求往往需要法院重新安排庭审、进行新的证据交换等程序，这可能会导致诉讼时间延长。

3. 诉讼成本增加：

   • 增加诉讼请求可能需要继承人支付更多的诉讼费用、律师费等费用，从而增加诉讼成本。

举例说明：假设在一个遗产继承纠纷案件中，继承人A原本只要求继承某套房产。但在诉讼过程中，A发现被继承人还留有一笔存款未被分割。此时，A可以在举证期限届满前向法院提出增加诉讼请求，要求继承这笔存款。如果法院认为A的增加诉请符合法律规定且与原有诉请具有关联性，那么法院会受理并审理这一新增的诉讼请求。

建议：如果您作为继承人参加诉讼后想要增加诉请，建议您先仔细研究相关法律法规和司法解释，了解增加诉请的具体条件和流程。同时，及时与法院沟通并准备充分证据来支持您的诉请。如果您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。