结论：管理部门在发现项目总监打卡未履职的情况下，确实可以通知甲方要求监理单位履职，但具体操作需依据相关法律法规和合同条款进行，并确保通知的合法性和有效性。

分析如下：

1. 法律基础与依据：

   • 根据《建设工程质量管理条例》等相关法律法规，监理单位在建设工程中承担着重要的监督和管理职责，包括确保工程质量、安全等方面符合规定。项目总监作为监理单位的核心管理人员，其履职情况直接关系到监理工作的有效性和工程的质量安全。
   • 若项目总监打卡未履职，即未按照合同约定或法律法规要求履行其职责，这可能构成违约或违法行为。管理部门作为工程质量的监督者，有权对监理单位及其人员的履职情况进行监督和检查。

2. 通知甲方的合法性与有效性：

   • 管理部门在发现项目总监打卡未履职后，可以依据相关法律法规和合同条款，向甲方发出通知，要求甲方督促监理单位履行其职责。这种通知通常具有合法性和有效性，因为它是基于管理部门对工程质量的监督职责和法律法规的授权。
   • 通知内容应明确、具体，包括项目总监未履职的具体情况、要求监理单位采取的措施以及可能产生的法律后果等。同时，管理部门应保留好相关证据，以备后续可能的法律纠纷。

3. 后续行动与建议：

   • 甲方在收到管理部门的通知后，应及时与监理单位沟通，了解项目总监未履职的具体原因，并要求监理单位采取措施确保项目总监履职或更换合格的项目总监。
   • 若监理单位未采取有效措施或项目总监仍继续未履职，甲方和管理部门可以依据合同条款和法律法规，采取进一步的法律措施，如罚款、解除合同等。
   • 对于项目总监个人而言，若其未履职行为构成违法或违约，还可能面临行政处罚、民事赔偿等法律责任。

4. 实际操作中的注意事项：

   • 管理部门在发出通知前，应确保已充分收集证据，证明项目总监确实存在打卡未履职的情况。
   • 通知应通过正式渠道发出，如书面函件、电子邮件等，并保留好发送记录和回执。
   • 甲方和管理部门在沟通过程中应保持冷静、理性，避免情绪化或过激的言行，以确保问题的妥善解决。

总结与建议： 管理部门在发现项目总监打卡未履职后，可以通知甲方要求监理单位履职。但在此过程中，应确保通知的合法性和有效性，并依据相关法律法规和合同条款进行操作。同时，甲方和管理部门应积极沟通、协作，共同确保工程的质量和安全。若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。