结论：针对您一审支出鉴定费但未变更诉请，法院未判决该费用承担的问题，您可以通过上诉或申请再审等法律途径来寻求救济。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与原则
在民事诉讼中，鉴定费通常被视为诉讼费用的一部分，其承担原则一般遵循“谁主张、谁负担”或根据案件具体情况由法院判决分担。若您在一审中支出了鉴定费，但未在诉讼请求中明确要求对方承担，且法院也未主动判决该费用的承担，这可能涉及到诉讼程序中的一些细节问题。
二、可能的原因分析
- 诉讼请求未明确：若您在一审中未明确将鉴定费作为诉讼请求的一部分，法院在判决时可能不会主动考虑该费用的承担问题。
- 法院未主动释明：在某些情况下，法院可能未主动向您释明可以要求对方承担鉴定费，导致您错过了在诉讼中提出该请求的机会。
- 证据或法律依据不足：若您提出的鉴定费请求缺乏充分的证据或法律依据，法院可能不会支持您的请求。
三、法律建议与救济途径
上诉：
- 若您对一审判决不服，可以在法定期限内（一般为判决书送达之日起15日内）向上一级人民法院提起上诉。
- 在上诉请求中，您可以明确要求对方承担鉴定费，并提供相关证据和法律依据支持您的请求。
- 上诉法院将对一审判决进行全面审查，包括鉴定费的承担问题，并作出相应的判决。
申请再审：
- 若您错过了上诉期限或上诉后仍未得到满意的结果，您可以考虑申请再审。
- 申请再审需要满足一定的条件，如原判决、裁定认定事实的主要证据不足、适用法律确有错误等。
- 在申请再审时，您可以提出鉴定费承担问题作为再审理由之一，并提供相关证据和法律依据。
与对方协商：
- 在诉讼之外，您也可以尝试与对方进行协商，看是否能够就鉴定费的承担问题达成一致意见。
- 协商解决可以节省时间和成本，但需要双方都有诚意和妥协的意愿。
四、注意事项
- 及时行动：无论是上诉还是申请再审，都需要在法定期限内进行，否则将丧失相应的法律救济权利。
- 准备充分：在提出鉴定费承担请求时，需要准备充分的证据和法律依据来支持您的请求。
- 咨询专业律师：虽然我在这里为您提供了一些法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在采取任何法律行动之前，建议您咨询专业律师以获取更具体、更个性化的法律建议。不过，您现在就可以直接向我咨询，我会尽我所能为您提供帮助。
五、可能的法律后果
- 若您通过上诉或申请再审成功，法院可能会判决对方承担鉴定费或部分鉴定费。
- 若您未能成功通过法律途径解决该问题，您可能需要自行承担鉴定费或寻求其他非法律途径的解决方式。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。