结论概述：

1. 过继的孩子在符合法定收养条件并完成收养登记后，会有相关的法定证明文件，即《收养登记证》。
2. 《收养登记证》上会载明收养人、被收养人（即过继的孩子）的姓名、性别、出生日期等基本信息，但通常不会直接写明亲生父母的姓名及同意书内容，不过收养过程中需要亲生父母签署同意收养的书面意见，并作为收养登记的必备材料。

详细解释与法律依据：

一、过继孩子的法定证明文件

根据《中华人民共和国民法典》中关于收养的规定，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。因此，过继的孩子在符合法定收养条件并完成收养登记后，会获得《收养登记证》这一法定证明文件。该证书是收养关系成立的有效凭证，具有法律效力。

二、《收养登记证》的内容

《收养登记证》上通常会载明收养人、被收养人（即过继的孩子）的姓名、性别、出生日期等基本信息，以及收养关系的成立日期等。这些信息是收养关系的基本要素，也是《收养登记证》的核心内容。

三、亲生父母姓名及同意书的处理

1. 亲生父母姓名的体现：虽然《收养登记证》上通常不会直接写明亲生父母的姓名，但在收养登记的过程中，亲生父母的身份信息是必须提供的。民政部门在审核收养申请时，会核实被收养人的生父母情况，包括是否查找不到生父母、生父母是否有特殊困难无力抚养等，这些信息会作为收养登记的重要依据。

2. 同意书的处理：根据法律规定，送养人（通常是亲生父母）应当提交书面同意送养的意见。这一同意书是收养登记的必备材料之一，它表明了亲生父母对收养行为的认可和同意。然而，这一同意书的内容通常不会直接体现在《收养登记证》上，而是作为收养登记档案的一部分由民政部门保存。

四、特殊情况下的处理

如果过继行为并未通过正式的收养程序进行，而是基于家族内部的约定或习俗，那么可能不会有《收养登记证》这一法定证明文件。在这种情况下，过继行为的法律效力可能会受到质疑，特别是在涉及继承、抚养等法律问题时。因此，建议在进行过继行为时，务必遵循法定程序，完成收养登记，以保障各方的合法权益。

五、法律建议

1. 如果您正在考虑过继孩子，建议先了解并遵循相关的法律规定，确保过继行为的合法性。
2. 在办理收养登记时，务必提供真实、准确的身份信息和其他必要材料，以确保收养关系的顺利成立。
3. 如果您对收养程序或相关法律问题有任何疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。