在处理执行和解协议中约定的逾期责任问题时，我们首先要明确的是，执行和解协议作为双方当事人在执行过程中自愿协商达成的民事合同，具有法律约束力。关于逾期责任，这通常体现在协议中的违约责任条款上，它对于保障协议的顺利履行和维护当事人的合法权益至关重要。

一、逾期责任的处理方式

1. 恢复执行原生效法律文书：

   • 如果被执行人未按照执行和解协议履行义务，包括逾期未支付约定的款项或未履行其他义务，申请执行人有权选择向执行法院申请恢复执行原生效法律文书。
   • 恢复执行后，原生效法律文书的执行内容将继续有效，已履行的部分将予以扣除。但需要注意的是，除非和解协议中有特别约定或法律另有规定，否则和解协议中的逾期违约金等通常不直接纳入原生效法律文书的执行范围。

2. 另行提起诉讼：

   • 申请执行人也可以选择就和解协议中的逾期责任等内容单独提起诉讼。
   • 法院将审理并确认和解协议的效力以及逾期责任的合法性。如果认定被执行人违约且逾期责任合法，法院将判决被执行人承担相应的逾期责任，如支付逾期违约金等。
   • 判决生效后，申请执行人可以依据此判决向法院申请强制执行。

二、逾期责任约定的注意事项

1. 合理性：

   • 逾期责任的约定应当合理，考虑实际损失、利益减少以及可预见损失等因素。过高或过低的逾期违约金可能面临法律的调整。

2. 明确性：

   • 逾期责任条款应当明确具体，包括逾期的时间界定、逾期责任的承担方式（如支付违约金、赔偿损失等）以及违约金的计算方法等。

3. 合法性：

   • 逾期责任条款不得违反法律的强制性规定，不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益。

三、法律建议

1. 妥善保存证据：

   • 申请执行人应妥善保存执行和解协议及相关证据，以便在需要时向法院提供，确保自身权益得到保障。

2. 及时行使权利：

   • 申请执行人需注意申请执行的时效，一般为两年，自和解协议约定的履行期限届满之日起计算。逾期可能影响权益的实现。

3. 综合考虑法律途径：

   • 在选择实现逾期责任的法律途径时，申请执行人应综合考虑证据情况、执行难度及对方履行意愿等因素。可以通过沟通协商尝试解决，协商无果时应及时采取法律措施。

综上所述，执行和解协议中约定的逾期责任可以通过恢复执行原生效法律文书或另行提起诉讼的方式来实现。在约定逾期责任时，双方当事人应确保条款的合理性、明确性和合法性，以充分发挥其在保障协议顺利履行和维护当事人合法权益方面的作用。