结论：物业是否有权锯断小区内裂开的树干，需视具体情况而定，主要取决于树干的裂开程度、是否构成安全隐患以及物业的管理权限和应急处理措施。以下从不同角度进行分析：
树干裂开程度与安全隐患
- 轻微裂开：如果树干只是轻微裂开，没有立即倒塌或断裂的风险，物业通常不需要立即锯断。此时，物业可以采取加固、支撑等临时措施，防止裂开情况恶化，并安排专业人员对树木进行定期检查和维护。
- 严重裂开：若树干严重裂开，存在倒塌或断裂的明显风险，可能危及小区居民的人身安全或财产安全，物业则有权采取紧急措施，包括锯断树干，以消除安全隐患。在此情况下，物业应尽快通知业主委员会或相关管理部门，并记录处理过程和结果。
物业的管理权限与应急处理
- 管理权限：物业作为小区的管理者，通常负责小区内公共设施的维护和管理，包括绿化树木。然而，物业的具体管理权限可能因小区管理规约、物业服务合同或相关法律法规而有所不同。因此，物业在采取锯断树干等措施前，应确认自身的管理权限和职责范围。
- 应急处理：在紧急情况下，如树干即将倒塌或已经倒塌，物业有权采取必要的应急措施，包括锯断树干，以保障小区居民的安全。但在此之后，物业应及时向业主委员会或相关管理部门报告，并说明处理情况和原因。
法律责任与风险防范
- 法律责任：如果物业未经授权或未采取合理措施锯断树干，导致小区居民的人身安全或财产安全受到损害，物业可能需承担相应的法律责任。因此，物业在采取任何措施前，应确保自身行为的合法性和合理性。
- 风险防范：为避免法律责任和风险，物业应定期对小区内的绿化树木进行检查和维护，及时发现并处理潜在的安全隐患。同时，物业可以与业主委员会或相关管理部门协商，制定树木维护和管理计划，明确各方的职责和权利。
建议：
- 如果您作为小区居民发现树干裂开，应及时向物业报告，并关注物业的处理情况。
- 物业在接到报告后，应尽快安排专业人员对树干进行评估，并根据评估结果采取相应的措施。
- 如果物业的处理措施不当或未及时处理，您可以向业主委员会或相关管理部门反映情况，并寻求进一步的帮助和支持。
如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的解答。